2023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系同步分层训练基础卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} \cdot x_{2} = 7$

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2. 如果2是方程x²−3x+k=0的一个根，则此方程的另一根为（）

A、2 B、1 C、−1 D、−2

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3. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、5 D、 $- 5$

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4. 方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的符号是（）

A、两根一正一负 B、两根都是负数 C、两根都是正数 D、无法确定

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5. 下列关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的命题中，真命题有 $($ 　　 $)$
①若 $a - b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c > 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $1$ 和 $- 2$ ，则 $a - b = 0$ ；
③若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有一个根是 $- c (c \neq 0)$ ，则 $b = a c + 1$ ．

A、①②③ B、①② C、②③ D、①③

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6. 已知某三角形的两边长恰是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）

A、8 B、7 C、6 D、5

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7. 若m，n是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两根，如图，表示 $\frac{2 m n^{2}}{m^{2} - n^{2}} - \frac{m n}{m - n}$ 的值所对应的点落在（）

A、第①段 B、第②段 C、第③段 D、第④段

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + b + c = 0$ ，则方程必有一根为 $x = 1$ ；
$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实根；
$③$ 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ ，必有实根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ；
$④$ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ．
其中正确的（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ③ ④$

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二、填空题

9. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两根之和为．

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - x + k + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

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11. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 2 = 0$ 的一个根为 $- 1$ ，则m的值为，另一个根为．

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12. 写一个一元二次方程：，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2， $- 3$ .

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13. 若 $a$ 和 $b$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} - 2 a + b =$ ．

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三、解答题

14. 已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 8 = 0$ 的两个根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

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15. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．
①若方程两根为1和2，则 $2 a - c = 0$ ；

②若 $b = 2 a + c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；

③若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = (2 a m + b)^{2}$ 成立．

判断以上说法是否正确，并说明理由．

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四、综合题

16. 已知关于x的一元二次方程x²-2(a-1)x+a²-a-2=0有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、若a为正整数，求a的值；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 ${x^{2}}_{1} + {x^{2}}_{2} - x_{1} x_{2} = 16$ ，求a的值.

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17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求实数m的取值范围：

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是该方程的两个根，且满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = m^{2} + 6$ ，求m的值．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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