2023-2024学年初中数学九年级上册 2.3 一元二次方程根的判别式同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 方程 $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = m x + m$ 的图象不经过第（）象限．

A、一 B、二 C、三 D、四

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3. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，及函数 $y_{1} = \frac{a}{x}$ ， $y_{2} = c x + b$ （a，b，c为常数，且 $a c \neq 0$ ），则（）

A、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定有交点 B、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定没有交点 C、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定有交点 D、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定没有交点

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4. 已知 $a (a > 1)$ 是关于x的方程 $x^{2} - b x + b - a = 0$ 的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当 $a = t ＋ 1$ 时，一定有 $b = t - 1$ ；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）

A、①② B、②③ C、①③ D、③④

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5. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $b^{2} - 2 (1 + 2 c) =$ （）

A、－2 B、2 C、－4 D、4

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6. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 (m - 1) x + 16 = 0$ 有两个相等的实数根，那么m的值可为（）

A、5 B、 $- 3$ C、 $- 5$ 或3 D、5或 $- 3$

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7. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、-1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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8. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、 $- 1$ 可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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二、填空题

9. 已知a、b是方程 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的两根，则 $a^{2} + 4 a + b - 3 =$ ．

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 4 c = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $c =$ （写出一个满足条件的值）．

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11. 已知关于x的一元二次方程x²-2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t²-2t+4m+1，则y的取值范围为．

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12. 已知关于x的一元二次方程（a-3）x²-8x+9＝0．

(1)、若方程的一个根为x＝-1，则a的值为；

(2)、若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为．

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13. 如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为 $s (m^{2})$ .现将边AB增加1m.

(1)、如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是.

(2)、如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为 $2 s (m^{2})$ ，则s的值是.

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三、解答题

14. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中 $a = 3 ， c = 5$ ，且关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + b = 0$ 有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.

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15. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + k ＝ 0$ 有两个相等的实数根，求k的值与方程的根.

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四、综合题

16. 已知抛物线 $y = x^{2} + (2 a + 1) x + 2 a + \frac{5}{4}$ 的顶点在 $x$ 轴上．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $\frac{a^{8} + a^{6} - a^{5} + a^{4} - 2 a^{3} - 2 a^{2}}{a^{16} + a^{12} + a^{8} - a^{7} - a^{6} + 2 a^{4} - a^{3} + 2 a^{2} - 3 a - 2}$ 的值．

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17. 对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”.例如：对于函数 $y_{1} = 2 x$ 和 $y_{2} = 3 x - 1$ ，则函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的“和函数” $y_{3} = y_{1} + y_{2} = 2 x + (3 x - 1) = 5 x - 1$ .

(1)、已知函数 $y_{1} = x$ 和 $y_{2} = \frac{1}{x}$ ，这两个函数的“和函数”记为 $y_{3}$ .
①写出 $y_{3}$ 的表达式，并求出当x取何值时， $y_{3}$ 的值为 $\frac{5}{2}$ ；

②函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图像如图①所示，则 $y_{3}$ 的大致图像是      ▲      .

A.    B.    C.    D.

(2)、已知函数 $y_{4} = x$ 和 $y_{5} = - \frac{1}{x}$ ，这两个函数的“和函数”记为 $y_{6}$ .
①下列关于“和函数” $y_{6}$ 的性质，正确的有      ▲      ；（填写所有正确的选项）

A. $y_{6}$ 的图像与x轴没有公共点

B. $y_{6}$ 的图像关于原点对称

C.在每一个象限内， $y_{6}$ 随x的值增大而减小

D.当 $x > 0$ 时，随着x的值增大， $y_{6}$ 的图像越来越接近 $y_{4} = x$ 的图像

②探究函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 与一次函数 $y = k x + 3$ （ $k$ 为常数，且 $k \neq 0)$ 图像的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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