2023-2024学年初中数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（）

A、 $- 4$ ， $- 8$ B、 $- 4$ ， 8 C、4， $- 8$ D、4，8

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2. 已知方程x²-4x+k＝0的两个实数根是x₁＝1，x₂＝3，则方程（x-5）²-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（　　）

A、x₁＝1，x₂＝3 B、x₁＝6，x₂＝8 C、x₁＝-4，x₂＝-2 D、x₁＝0，x₂＝2

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3. 方程 $x^{2} = 5 x$ 的根是（）

A、 $x = 5$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 5$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 5$

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 配方后，结果正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 21$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 11$

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5. 方程 $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ 经配方后，可化为（）

A、 $(x - 1)^{2} = 7$ B、 $(x + 2)^{2} = 7$ C、 $(x - 1)^{2} = 6$ D、 $(x - 2)^{2} = 6$

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6. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 的一个根是3，则a的值是（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、2 D、 $- \frac{9}{2}$

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7. 设a，b是方程 $x^{2} + x - 2023 ＝ 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值为（）

A、2024 B、2021 C、2023 D、2022

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8. 已知 $\frac{a^{2} - c}{a} - 1 = 0$ ， $\frac{b^{2} - c}{b} - 1 = 0$ ，若 $a \neq b$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $a + b = - 1$ B、 $a + b = 1$ C、 $a - b = 1$ D、 $a - b = - 1$

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二、填空题

9. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - k x - 12 = 0$ 的一个根为2，则 $k$ 的值为．

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10. 已知关于x的方程 $x^{2} + m x - 4 = 0$ 的一个根为1，则该方程的另一个根为．

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11. 若关于x的一元二次方程x²+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是.

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12. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x²-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是.

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13. 若 $W = 5 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 2 y + 8 x + 3$ （ $x 、 y$ 为实数），则 $W$ 的最小值为.

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三、解答题

14. 在解一元二次方程 ${(5 x - 3)}^{2} = 5 x - 3$ 时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以 $5 x - 3$ 得： $5 x - 3 = 1$ ；
移项得： $5 x = 4$ ；
解得： $x = \frac{4}{5}$ ．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．

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15. 阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程： $x^{2} - 3 | x | - 10 = 0$ ．

解：分两种情况：

①当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ，解得 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 2$ （舍去）；

②当 $x < 0$ 时，原方程化为 $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ ，解得 $x_{3} = - 5$ ， $x_{4} = 2$ （舍去）．

综上所述，原方程的解是 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 5$ ．

请参照上述方法解方程 $x^{2} - | x + 1 | - 1 = 0$ ．

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四、计算题

16. 解方程：

(1)、 $x (x + 1) = x + 1$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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五、综合题

17. 阅读材料：形如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ ．

解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$

      $= (a + 3)^{2} - 1$

      $= (a + 3 - 1) (a + 3 + 1)$

      $= (a + 2) (a + 4)$

（二）用配方法求代数式 $a^{2} + 6 a + 8$ 的最小值．

解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$

      $= (a + 3)^{2} - 1$

∵ $(a + 3)^{2} \geq 0$ ， ∴ $(a + 3)^{2} - 1 \geq - 1$ ， ∴ $a^{2} + 6 a + 8$ 的最小值为 $- 1$ ．

(1)、若代数式 $x^{2} - 10 x + k$ 是完全平方式，则常数k的值为；

(2)、因式分解： $a^{2} - 12 a + 32 =$ ；

(3)、用配方法求代数式 $4 x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值；

(4)、拓展应用：
若实数a，b满足 $a^{2} - 5 a - b + 7 = 0$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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18. 若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如， $13 = 3^{2} + 2^{2}$ ，所以13是“完美数”，再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2}$ （x，y是整数），所以M也是“完美数”.

(1)、请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是；
判断：45（请填写“是”或“不是”）“完美数”；

(2)、已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 4 y + k$ （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.

(3)、如果数m，n都是“完美数”， $m \neq n$ ，试说明 $\frac{(m + n)^{2} - (m - n)^{2}}{4}$ 也是“完美数”.

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2023-2024学年初中数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

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