2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.4 角的平分线同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在正方形网格中， $∠ A O B$ 的位置如图所示，到 $∠ A O B$ 两边距离相等的点应是（）

A、P点 B、Q点 C、M点 D、N点

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D E ⊥ A B$ 于点E ， $C D = D E$ ， $∠ C B D = 28 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（　　）

A、34° B、36° C、38° D、40°

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $E B ⊥ A B$ 且 $E A = E C$ ．以下判断正确的是（）

A、 $A C = 2 A E$ B、 $A C = 2 A B$ C、 $B C = 2 A B$ D、 $A B = 2 B E$

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4. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是 $∠ B A C$ 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（）

A、2.4 B、4 C、4.8 D、5

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于点D.若 $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，则线段CD的长为（）

A、3 B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{5}$

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6. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（）

问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 如图，点P为定角 $∠ A O B$ 平分线上的一个定点，且 $∠ M P N$ 与 $∠ A O B$ 互补．若 $∠ M P N$ 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与 $O A$ 、 $O B$ 相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）

A、 $O M + O N$ 的值不变 B、 $∠ P N M = ∠ P O B$ C、 $M N$ 的长不变 D、四边形 $P M O N$ 的面积不变

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A P$ 是角平分线， $A C = 4$ ， $P C = 2$ ，则P到 $A B$ 的距离是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $A C = 6 ， B D = 2$ ，则 $△ A C D$ 的面积是．

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10. 如图， $∠ A O B = 30 ° ， O E$ 平分 $∠ A O B ， P$ 是 $O E$ 上一点，过点 $P$ 分别作 $P C ⊥ O B$ 于点 $C ， P D ∥ O B$ 交 $O A$ 于点 $D$ ．若 $P D = 6$ ，则 $P C$ 的长为．

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11. 如图，直线 $A B / / C D$ ， $E$ 为直线 $A B$ 上一点， $E H$ 、 $E M$ 分别交直线 $C D$ 于点 $F$ 、 $M$ ， $E H$ 平分 $∠ A E M$ ， $M N ⊥ A B$ ，垂足为点 $N$ ，若 $∠ C F H = α$ ，则 $∠ E M N =$ .（用含 $α$ 的式子表示）

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $D E ⊥ A B$ 于E，若 $△ A D E$ 的周长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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13. 已知：如图， $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $B D = B C$ ， E为 $B D$ 延长线上的一点， $B E = B A$ ，过E作 $E F ⊥ A B$ ， F为垂足．下列结论：① $△ A B D ≌ △ E B C$ ；② $∠ B C E + ∠ B C D = 180 °$ ；③ $A D = A E = E C$ ；④ $A B + B C = 2 B F$ ．其中正确的是．（只填序号）

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三、解答题

14. 如图， $C D$ 是五边形 $A B C D E$ 的一边，若 $A M$ 垂直平分 $C D$ ，垂足为M ，且 ▲ ， ▲ ，则 ▲ ．
给出下列信息：① $A M$ 平分 $∠ B A E$ ；② $A B = A E$ ；③ $B C = D E$ ．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ D E ， B E ⊥ D E ， A C 、 B C$ 分别平分 $∠ B A D$ 、 $∠ A B E$ ，点 $C$ 在线段 $D E$ 上，求证： $A B = A D + B E$ ．

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四、综合题

16. 已知：直线 $A N ， P Q$ 被直线 $A B$ 截于 $A ， B$ 两点，且 $M N ∥ P Q$ ，点 $D$ 是直线 $M N$ 上一定点，点 $C$ 是射线 $B A$ 上一动点，连接 $C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ C D$ 交直线 $P Q$ 于点 $E$ ．

(1)、如图，若点 $C$ 在线段 $A B$ 上， $∠ M D C$ 和 $∠ P E C$ 的平分线交于点 $H$ ．
①请写出 $∠ A D C$ 和 $∠ C E B$ 的数量关系，并证明；

② $∠ D H E$ 的度数为；

(2)、若点 $C$ 在线段 $B A$ 的延长线上，直接写出 $∠ A D C$ 和 $∠ C E B$ 的数量关系，不必证明．

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17. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．

(1)、在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美"四边形的是（请填序号）；

(2)、在“完美”四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，连接 $A C$ ．

①如图1，求证： $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ：

想法一：通过 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，可延长 $C B$ 到 $E$ ，使 $B E = C D$ ，通过证明 $Δ A E B ≌ Δ A C D$ ，从而可证 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

想法二：通过 $A B = A D$ ，可将 $Δ A C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，使 $A D$ 与 $A B$ 重合，得到 $Δ A E B$ ，可证 $C$ ， $B$ ， $E$ 三点在一条直线上，从而可证 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ．

请你参考上面的想法，选择其中一种想法帮助小明证明 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ；

②如图2，当 $∠ B A D = 90 °$ 时，用等式表示线段 $A C$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并证明．

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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