2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.2 命题与证明同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2023-12-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列命题是真命题的是（）

A、同位角相等 B、内错角相等 C、相等的角是对顶角 D、同旁内角互补，两直线平行

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2. 要说明命题“若 $| x | > 3$ ，则 $x > 3$ ”是假命题，可以举的一个反例是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 3$ C、 $x = 4$ D、 $x = - 4$

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3. 有8个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余7个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 下列命题中，①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四边相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形，是真命题的有（）

A、①② B、②④ C、①④ D、①②④

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5. 下列说法错误的个数是（　　）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、垂直和平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 判断命题“如果 $n < 1$ ，那么 $n^{2} - 1 < 0$ ”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $- 2$

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7. 如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）

A、①②③ B、①②③④ C、①② D、①

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8. 如图， $A B / / C D$ ， $F$ 为 $A B$ 上一点， $F D / / E H$ ，且 $F E$ 平分 $∠ A F G$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ E H$ 于点 $G$ ，且 $∠ A F G = 2 ∠ D$ ，则下列结论：
① $∠ D = 30 °$ ；② $2 ∠ D + ∠ E H C = 90 °$ ；③ $F D$ 平分 $∠ H F B$ ；④ $F H$ 平分 $∠ G F D$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

9. 举一个反例说明“ $\sqrt{x^{2}} = x$ ”是不成立的，则 $x$ 的值可以是.

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10. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．

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11. “爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼只.

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12. 甲、乙、丙三人进行羽毛球赛训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了局比赛，其中最后一局比赛的裁判是（填甲或乙或丙）．

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13. 图1是一个

2 \times 2

正方形网格，两条网格线的交点叫做格点.甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：

游戏规则a.两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；

b.新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点；

c.已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；

d.当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜.

如图2，甲先画出线段 $A B$ ，乙随后画出线段 $B C$ .若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是.（填“甲”，“乙”或“不确定”）.

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三、解答题

14. 设x，y，z为互不相等的非零实数，且 $x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}$ ．求证： $x^{2} y^{2} z^{2} = 1$ ．

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15. 请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A C$ ，垂足为A， $∠ 1 = ∠ 2$ ．
试说明： $E F ⊥ A C$ ．
解：因为 $A B ∥ C D$ （已知），
所以 $∠ 1 = ∠ D$ （   ）．
因为 $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
所以 $∠ 2 =$   ▲  （等量代换）．
所以 $E F ∥ A D$ （    ）．
所以 $∠ C E F = ∠ C A D$ （   ）．
因为 $A D ⊥ A C$ （已知），
所以 $∠ C A D = 90 °$ （垂直的定义）．
所以 $∠ C E F = 90 °$ （    ）．
所以 $E F ⊥ A C$ （垂直的定义）．

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四、综合题

16. 设 $a$ ， $b$ 是两个不相等的正整数， $P$ 为质数，满足 $b^{2} + a = p^{2}$ ，且 $\frac{a^{2} + b}{b^{2} + a}$ 是整数．

(1)、求证： $a > b$ ；

(2)、求 $p$ 的值；

(3)、求 $a$ ， $b$ 的值．

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17. 在小学，我们学习过能被3整除的数的规律，其实这个结论可以用因式分解的方法证明．

(1)、请你判断111222（填能或不能）被3整除；

(2)、为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1236”试着进行推理：

$1236 = 1000 \times 1 + 100 \times 2 + 10 \times 3 + 1 \times 6$

$= (999 + 1) \times 1 + (99 + 1) \times 2 + (9 + 1) \times 3 + 6$

$= 999 \times 1 + 99 \times 2 + 9 \times 3 + (1 + 2 + 3 + 6)$

$= 3 (333 \times 1 + 33 \times 2 + 3 \times 3) + (1 + 2 + 3 + 6)$ ；

∵“ $3 (333 \times 1 + 33 \times 2 + 3 \times 3)$ ”能被3整除，

∴当“ $1 + 2 + 3 + 6$ ”被3整除，原数就能被3整除．

现在，设 $\bar{a b c d}$ 是个四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“ $a + b + c + d$ ”能被3整除，则 $\bar{a b c d}$ 能被3整除；

(3)、定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位．例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若

\bar{a b c d}

的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则

\bar{a b c d}

能被11整除．