【浙教版】2023-2024学年数学八年级上册期末冲刺满分攻略11 勾股定理及其逆定理

试卷更新日期：2023-12-15 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， 2 B、1，2， $\sqrt{7}$ C、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ D、4，5，6

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2. 下列条件中，能判定 $△ ABC$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ A = 30 °$ B、 $∠ B + ∠ C = 120 °$ C、 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 1$ ： $1$ ： $2$ D、 $AB = AC = 1$ ， $BC = \sqrt{3}$

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3. 有一直角三角形纸片，∠C＝90°BC＝6，AC＝8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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4. 若Rt $△ A B C$ 的两边长为5和12，则第三边长为（ )

A、13 B、26 C、 $\sqrt{119}$ D、13或 $\sqrt{119}$

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5. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B’（如图）.则这根芦苇的长度是（）

A、10尺 B、11尺 C、12尺 D、13尺

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 $M N$ ，与 $A C$ ， $B C$ 分别交于D，E，连接 $A E$ ，若 $A B = 5$ ， $A C = 13$ ，则 $△ A B E$ 的周长为（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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7. 勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图，以 $R t △ A B C$ 的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为 $S_{1} = 1$ ， $S_{2} = 2$ ， $S_{3} = 3$ ，则较小两个正方形重叠部分（四边形 $D E F G$ ）的面积为（）

A、4 B、5 C、5.5 D、6

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8. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上， $A C = a ， B D = b$ .以 $A C$ 为底向下作等腰直角三角形 $A C E$ ，以 $B D$ 为底向上作等腰三角形 $B D F$ ，且 $F B = F D = \frac{5}{6} B D$ .连接 $A F ， D E$ ，当 $B C$ 的长度变化时， $△ A B F$ 与 $△ C D E$ 的面积之差保持不变，则a与b需满足（）

A、 $a = \frac{4}{3} b$ B、 $a = \frac{6}{5} b$ C、 $a = \frac{5}{3} b$ D、 $a = \sqrt{2} b$

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9. 如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ，则S₁+S₄=（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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10. 己如等边 $△ A B C$ 的边长为4，点P是边 $B C$ 上的动点，将 $△ A B P$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A C Q$ ，点D是 $A C$ 边的中点，连接 $D Q$ ，则 $D Q$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、不能确定

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二、填空题

11. 直角三角形两条边长分别为3和4，则第三边的长为.

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12. 直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是．

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13. 如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行m．

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14. 如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道 $A C$ 与 $A E$ 的长度相等，滑梯的高度 $B C = 6 m$ ， $B E = 2 m$ .则滑道 $A C$ 的长度为m.

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15. 如图四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D ， C B ⊥ C D ， A B = A D ， B C + C D = 12$ ，则四边形 $A B C D$ 面积为.

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16. 如图，在以点 $A$ 为直角顶点的 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为底边向上作等腰 $△ A D H$ ，使得 $∠ A D H = ∠ C$ ， $D H$ 交 $A B$ 于点 $K$ ，则 $H K =$ .

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = m - n$ ， $b = 2 \sqrt{m n}$ ， $c = m + n$ ，且 $m > n > 0 . △ A B C$ 是直角三角形吗？请证明你的判断.

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18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连结AE，求BE的长.

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19. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.

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20. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长.

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21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是3，6和 $\sqrt{15}$ ，因为3²+6²＝3× $\sqrt{15}$ ²＝45，所以这个三角形是常态三角形．

(1)、若△ABC三边长分别是2，3和 $\sqrt{3}$ ，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；

(2)、若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；

(3)、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD ，若△BCD是常态三角形，求AC的长。

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $B D = C D$ ，延长 $B C$ 至E.使得 $C E = C A$ ，连接AE.

(1)、求证： $∠ B = ∠ A C B$ .

(2)、若 $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，
①求 $△ A B C$ 的面积.
②求 $△ A B E$ 的周长，

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23. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上， $A (0 ， 4 \sqrt{3})$ .在第一象限内作等腰 $△ A O C$ ， $A O = A C$ ， $∠ O A C = a (0 ° < a \leq 90 °)$ .点D为x轴正半轴上的动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转a度，得到线段AE，连接EC并延长交x轴于点F.

(1)、如图1，当 $a = 90 °$ 时，线段OF与CF的数量关系是；

(2)、如图2，当 $0 ° < a < 90 °$ 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)、若 $a = 60 °$ ，
①求点F的坐标；
②过点E作 $E P ⊥ x$ 轴，垂足为P，当 $△ P C E$ 是等腰三角形时，求P点的坐标.

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