初中数学沪科版七年级上册 3.3 二元一次方程组及其解法同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2023-12-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程 $a x + b y = 3$ 的解，则代数式 $a + 2 b - 5$ 的值为（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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2. 若关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = m \\ x + y = 5 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = n \end{array}$ ，则（）

A、 $m = 2$ ， $n = 1$ B、 $m = - 4$ ， $n = 2$ C、 $m = 4$ ， $n = - 2$ D、 $m = - 2$ ， $n = 4$

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3. 用加减消元法解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 8 ， ① \\ x - y = 1 ， ② \end{array}$ 其解题步骤如下：（1） $① + ②$ ，得 $3 x = 9$ ，解得 $x = 3$ ；（2） $① - ② \times 2$ ，得 $3 y = 6$ ，解得 $y = 2$ ；所以原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 3 ， \\ y = 2 . \end{array}$
则下列说法正确的是（）

A、步骤(1)(2)都不对 B、步骤(1)(2)都对 C、本题不适宜用加减消元法解 D、加减消元法不能用两次

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4. 我国古代数学名著《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，随后走路快的人出发去追他，那么走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则正确的方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 100 + y \\ 60 y = 100 x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 100 \\ 60 x = 100 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - 100 = x \\ 60 y = 100 x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 100 \\ x = \frac{100}{60} y \end{array}$

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5. 利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）

A、 $60 c m$ B、 $65 c m$ C、 $70 c m$ D、 $75 c m$

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6. 栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 3 y + 5 = x \\ 5 y - 1 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 y - 5 = x \\ 5 y = x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} + 5 = y \\ 5 y = x - 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{x - 5}{3} = y \\ \frac{x}{5} = y - 1 \end{array}$

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7. 关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算： $a ※ b = 2 a + \frac{b}{3}$ ，例如： $2 ※ 1 = 2 \times 2 + \frac{1}{3} = 4 \frac{1}{3}$ ．依据运算定义，若 $a ※ 3 b = a + 1$ ，且 $\frac{1}{2} (a + 1) ※ (b - 1) = 0$ ，则 $2 a + b$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 6 - 3 a \\ x - y = 6 a \end{array}$ ，给出下列说法：
①当 $a = 1$ 时，方程组的解也是 $x + y = a + 3$ 的解；
②若 $2 x + y = 3$ ，则 $a = - 1$ ；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 若 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是二元一次方程 $2 y - a x = - 5$ 的一个解，则a的值为．

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10. 已知关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 2 m + 1 ， \\ 2 x + y = m + 2 \end{array}$ 的解满足不等式 $x - y > 2$ ，则m的取值范围为．

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11. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 m + n = 4 \\ m + 2 n = 5 \end{array}$ ，则 $m - n$ = ．

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12. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 5 \\ 3 x + y = - 1 \end{array}$ ，则 $x + y =$ ， $x - y =$ ．

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13. 解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 ， ① \\ 5 x - 6 y = 33 ， ② \end{array}$ 小红的思路是：用① $\times 5 -$ ② $\times 3$ 消去未知数 $x$ ，请你写出一种用加减消元法消去未知数 $y$ 的思路：用消去未知数 $y$ ．

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三、解答题

14. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 3 \\ 3 x + 5 y = 2 m + 1 \end{array}$ 的解满足x＋y＝0，求实数m的值．

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15. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 6 \\ m x + n y = - 1 \end{array}$ 和方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 3 y = 1 \\ m x - n y = 4 \end{array}$ 同解，求m和n的值．

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四、综合题

16. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 10 \\ a x + b y = 14 \end{array}$ 和方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 11 \\ a y - b x = 5 \end{array}$ 的解相同．

(1)、这两个方程组的解；

(2)、求 $(2 a + b)$ 的立方根．

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17. 阅读探索．
知识累积：解方程组 ${\begin{array}{l} (a - 1) + 2 (b + 2) = 6 ， \\ 2 (a - 1) + (b + 2) = 6 ， \end{array}$ ，

解：设 $a - 1 = x$ ， $b + 2 = y$ ，原方程组可变为 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 6 \\ 2 x + y = 6 \end{array}$

解方程组，得： ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} a - 1 = 2 \\ b + 2 = 2 \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} a = 3 \\ b = 0 \end{array}$ ．此种解方程组的方法叫换元法．

(1)、举一反三：运用上述方法解下列方程组： ${\begin{array}{l} (\frac{a}{3} - 1) + 2 (\frac{b}{5} + 2) = 4 \\ 2 (\frac{a}{3} - 1) + (\frac{b}{5} + 2) = 5 \end{array}$ ；

(2)、能力运用：已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 3 \end{array}$ ，则关于 $m$ ， $n$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (m + 3) + b_{1} (n - 2) = c_{1} \\ a_{2} (m + 3) + b_{2} (n - 2) = c_{2} \end{array}$ 的解是；

(3)、拓展提高：若方程组 ${\begin{array}{l} 3 a_{1} x + 2 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 3 a_{2} x + 2 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是．

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