2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 2.1 代数式同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2023-12-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $m^{2} + 2 m - 1 = 0$ ．则 $2 m^{2} + 4 m - 3$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、5 D、 $- 3$

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2. 若 $x$ 满足 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ ，则代数式 $2 x^{2} + 6 x - 3$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $7$ C、 $10$ D、 $- 13$

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3. 我国南宋时期数学家杨辉于 $1261$ 年写下的 $《$ 详解九章算法 $》$ ，书中记载的图表给出了 $(a + b)^{n}$ 展开式的系数规律．

当代数式 $x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$ 的值为 $1$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 4$ C、 $2$ 或 $4$ D、 $2$ 或 $- 4$

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4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如6615用算筹表示就是，则2023用算筹可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 两个水桶中装有体积相等的水．先把甲桶的水倒一半至乙桶，再把乙桶的水倒出三分之一给甲桶，且整个过程中没有水溢出．则现在两个水桶中水的量是（）

A、甲桶中的水多 B、乙桶中的水多 C、一样多 D、无法比较

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中②号正方形的部分被①号和③号正方形遮盖，若②号和③号正方形未被遮盖部分的面积为 $S$ ，则图中阴影部分面积为（）

A、 $S$ B、 $\frac{1}{S}$ C、 $\frac{4}{S^{2}}$ D、 $\frac{S^{2}}{4}$

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7. 如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为 $\frac{2}{3}$ ，我们发现第一次输出的结果为 $- \frac{3}{2}$ ，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、2 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 有一列数按如下顺序排列： $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $- \frac{\sqrt{4}}{8}$ ， $\frac{\sqrt{5}}{16}$ ， $- \frac{\sqrt{6}}{32}$ ， $\frac{\sqrt{7}}{64}$ ， …，则第2015个数是（）

A、 $\frac{\sqrt{2015}}{2^{2015}}$ B、 $- \frac{\sqrt{2015}}{2^{2015}}$ C、 $\frac{\sqrt{2016}}{2^{2015}}$ D、 $- \frac{\sqrt{2016}}{2^{2015}}$

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二、填空题

9. 当 $x =$ 时，代数式 $\frac{1}{x - 1} + \frac{3}{1 - x^{2}}$ 的值为零．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点 $P_{1} (1 ， 1)$ ，第2次接着运动到点 $P_{2} (2 ， 0)$ ，第3次接着运动到点 $P_{3} (3 ， - 2)$ ， …，按这样的运动规律，点 $P_{2023}$ 的坐标是．

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11. 如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，…，依此类推，则第2023个图中共有个三角形．

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12. 若 $m^{2} = n + 2023 ， n^{2} = m + 2023$ ，且 $m \neq n$ ，则代数式 $m^{3} - 2 m n + n^{3}$ 的值为．

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13. 将“ ”和“ ”按如图所示的方式有规律的排列．

(1)、图中“ ”的个数为7（填序号）；

(2)、设图 $n$ 中“ ”的个数为 $x$ ， “ ”的个数为 $y$ ，写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为；

(3)、若图 $n$ 中“ ”的个数与“ ”的个数之和为247，则 $x =$ ．

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三、解答题

14. 我们规定 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ 的运算法则为 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如 $| \begin{array}{l} 5 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} | = 5 \times 6 - 3 \times 4 = 18$ . 若 $| \begin{array}{l} 6 & 4 - x \\ 2 & x \end{array} | > 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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15. 从前，古希腊的一位庄园主人把一块边长为 $a m (a > 8)$ 的正方形土地租给租户约翰，第二年，他对约翰说：“我把这块地的一边增加 $8 m$ ，相邻的另一边减少 $8 m$ ，变形矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”若是这样，你觉得约翰吃亏了吗？通过计算说明你的结论．

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四、综合题

16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，给出如下定义： $M [P ， Q] = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2} - | x_{1} - x_{2} |) + \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2} - | y_{1} - y_{2} |)$ ．

(1)、已知点 $P (1 ， 0)$ ．
①若点Q与点P重合，则 $M [P ， Q] =$ ；
②若点 $Q (3 ， - 1)$ ，则 $M [P ， Q] =$ ；

(2)、正方形四个顶点的坐标分别是 $O (0 ， 0)$ ， $A (t ， 0)$ ， $B (t ， t)$ ， $C (0 ， t)$ ，其中 $t > 0$ ，在正方形 $O A B C$ 内部有一点 $P (a ， b)$ ，动点Q在正方形 $O A B C$ 的边上及其内部运动．若 $M [P ， Q] = a + b$ ，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；

(3)、若点 $P (1 ， 2)$ ， $Q (k ， 5 - k)$ ， $M [P ， Q] > 0$ ，且 $M [P ， Q]$ 为奇数，直接写出k的取值范围．

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17. 某商场为了促销，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：

从1，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 3$ ）这n个整数中任取 $a (1 < a < n)$ 个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

(1)、探究一：①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①

所取的2个整数
1，2
1，3
2，3
2个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②

所取的2个整数
1，2
1，3
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．
④从1，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 3$ ）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．

(2)、探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．
②从1，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 4$ ）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．

(3)、探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 5$ ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．

(4)、归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 3$ ）这n个整数中任取 $a (1 < a < n)$ 个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．

(5)、问题解决：从100张面值分别为l元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．

(6)、拓展延伸：
①从l，2，3，…，n（n为整数，且 $n \geq 6$ ）这n个整数中任取6个整数，使得取出的这些整数之和共有2023种不同的结果？（写出解答过程）

②从3，4，5，…， $n + 3$ （n为整数，且 $n \geq 2$ ）这 $(n + 1)$ 个整数中任取 $a (1 < a < n + 1)$ 个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．

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所取的2个整数	1，2	1，3	1，4	2，3	2，4	3，4
2个整数之和	3	4	5	5	6	7

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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