【浙教版】2023-2024学年数学八年级上册期末冲刺满分攻略9 等边三角形的性质和判定

试卷更新日期：2023-12-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ cm² B、2cm C、3cm² D、4cm²

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2. 若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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3. 如图，点A，B，C，D顺次在直线l上， $A C = a$ ， $B D = b$ ，以 $A C$ 为边向下作等边 $△ A C F$ ，以 $B D$ 为底边向上作等腰 $R t △ B D E$ ，当 $A B$ 的长度变化时， $△ C D F$ 与 $△ A B E$ 的面积差S始终保持不变，则a，b满足（）

A、 $b = \sqrt{3} a$ B、 $a = \sqrt{3} b$ C、 $b = \sqrt{2} a$ D、 $a = b$

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4. 如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠AOD的度数为（）

A、92° B、90° C、88° D、84°

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5. 如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处.从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处.则B处到灯塔C的距离是（）

A、20海里 B、25海里 C、30海里 D、35海里

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = A C$ ， $A E = C D$ ， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $P$ ， $B Q ⊥ A D$ 于 $Q$ .则下列数量关系正确的为（）

A、 $B P^{2} = 2 P Q^{2}$ B、 $3 B P^{2} = 4 B Q^{2}$ C、 $4 B P^{2} = 3 P Q^{2}$ D、 $2 B Q^{2} = 3 P Q^{2}$

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7. 如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点.若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）

A、30° B、45° C、25° D、20°

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8. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 中点，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 上的点， $B P = A Q = 3$ ， $Q D = 2$ ，在 $B D$ 上有一动点 $E$ ，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 如图， $△ ABC$ 和 $△ BDE$ 均为等边三角形，且点E在 $△ ABC$ 内， $∠ AEC = 110 °$ ，若 $△ CDE$ 是不等边三角形，那么 $∠ AEB$ 的度数可能是（）

A、110° B、125° C、140° D、150°

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10. 如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（）个．

A、5个 B、6个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 等边三角形的边长为 $a$ ，则它的周长为，等边三角形共有条对称轴．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ 为边向外作正 $△ A C D$ 和正 $△ B C E$ ，连接 $A E$ ， $B D$ ，当 $△ A B C$ 的边 $A C$ 变化过程中， $B D$ 取最长时，则 $A C$ 的长为.

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13. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $A O ⊥ B C$ ， O为垂足且 $A O = \sqrt{3}$ ， E是线段 $A O$ 上的一个动点，连接 $B E$ ，线段 $B F$ 与线段 $B E$ 关于直线 $B A$ 对称，连接 $A F 、 O F$ ，在点E运动的过程中，当 $O F$ 的长取得最小值时， $A E$ 的长为 .

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14. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $B D = C D$ ，且 $∠ B D C = 120 °$ ，以 $D$ 为顶点作一个 $60 °$ 角，使其两边分别交 $A B$ 于点 $M$ ．交 $A C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，则 $△ A M N$ 的周长是．

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15. 如图，已知在四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $D A ⊥ A C$ ， $B C = 3 c m$ ， $A B = 4 c m$ ， $A D = 12 c m$ .若以CD为边，向形外作正 $△ C D E$ ，则 $△ C D E$ 的面积为.

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16. 如图，边长为6的等边三角形 $A B C$ 中，若点 $M$ 是高 $A D$ 所在直线上一点，连接 $C M$ ，以 $C M$ 为边在直线 $C M$ 的下方画等边三角形 $C M N$ ，连接 $D N$ ，则 $D N$ 长度的最小值为.

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三、解答题

17.
如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．

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18. 如图，△ABC是等边三角形，将BC向两端延长至点D，E，使BD=CE，连结AD，AE．求证：∠D=∠E．

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19. 如图，等边三角形ABC和等边三角形APQ，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，求证：△ABP≌△ACQ．

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20. 如图，在等边△ABC中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $D E / / A B$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，若 $C D = 2$ ，求 $D F$ 的长．

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21. 在△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC＝120°，AD⊥BC ，垂足为G ，且AD＝AB ， ∠EDF＝60°，其两边分别交边AB ， AC于点E ， F ．

(1)、连接BD ，求证：△ABD是等边三角形；

(2)、试猜想：线段AE、AF与AD之间有怎样的数量关系？并给以证明．

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22. 新定义：对角互补的四边形称为对补四边形．

(1)、如图1，四边形 $ABCD$ 为对补四边形， $∠ A = 75^{\circ}$ ，求 $∠ DCE$ 的度数．

(2)、在等边三角形 $ABC$ 上， $AB = 10 cm$ ，完成以下问题：
①如图2，若动点 $P$ 从点 $A$ 沿着 $AB$ 运动，速度为 $1 cm / s$ ，动点 $Q$ 从点 $C$ 沿着 $CA$ 运动，速度为 $2 cm / s$ ，两个动点同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $A$ 时所有运动停止．当四边形 $BPQC$ 为对补四边形时，求此时的运动时间．

②如图3，若动点 $P$ 从点 $A$ 沿着 $AB$ 运动，速度为 $1 cm / s$ ，动点 $Q$ 从点 $A$ 沿着 $AC$ 运动，速度为 $1.5 cm / s$ ，两个动点同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时所有运动停止．连结 $PC ， BQ$ ，当四边形 $APDQ$ 为对补四边形时，求此时的运动时间．

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23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．

(1)、请证明图1的结论成立；

(2)、如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；

(3)、如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

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