【浙教版】2023-2024学年数学八年级上册期末冲刺满分攻略2 定义、命题与证明

试卷更新日期：2023-12-14 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列是命题的是（）

A、作两条相交直线 B、∠α和∠β相等吗？ C、全等三角形的对应边相等 D、若 $a^{2} = 4$ ，求a的值

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2. 下列说法正确的是（）

A、每个定理都有逆定理 B、每个命题都有逆命题 C、假命题没有逆命题 D、真命题的逆命题是真命题

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3. 下列命题中，是真命题的是（）

A、如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D、同位角相等

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4. 下列命题属于假命题的是（）

A、三个角对应相等的两个三角形全等 B、三边对应相等的两个三角形全等 C、全等三角形的对应边相等 D、全等三角形的面积相等

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5. 对于命题“如果 $a < 1$ ，那么 $a^{2} < 1$ ”，能说明它是假命题的反例是（）

A、 $a = - 2$ B、 $a = 2$ C、 $a = - \frac{1}{2}$ D、 $a = 0$

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6. 对于命题“如果 $a^{2} > b^{2}$ ，那么 $a > b$ ”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）

A、 $a = 3$ ， $b = - 2$ B、 $a = - 2$ ， $b = 3$ C、 $a = 3$ ， $b = 2$ D、 $a = - 3$ ， $b = 2$

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、同角的补角相等 B、一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等 C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D、两个无理数的和仍是无理数

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8. 可以用来说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（）

A、a＝0，b＝-1 B、a＝1，b＝0 C、a＝2，b＝1 D、a＝2，b＝-1

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9. 下列命题是真命题的是（）

A、相等的角是对顶角 B、两直线平行，内错角相等. C、若实数a，b满足a²＝b² ，则a＝b D、若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0

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10. 下列四个命题：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、4个

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二、填空题

11. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题．

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12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：.

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13. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是.（填“真命题”或“假命题”）

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14. 写出一组能说明命题“对于任意实数a，b，若 $a < b$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ ”是假命题的a，b的值为 $a =$ ， $b =$ ．

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15. 一次数学测试，满分为100分.测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分.那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的.其中真命题是.（用序号填写）

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16. 下列命题中，逆命题是真命题的是（只填写序号）。
①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②等腰三角形两腰的高线相等；

③若三条线段a，b，c是三角形的三边，则这三条线段满足a+b>c

④角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

⑤全等三角形的面积相等；

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三、解答题

17. 求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行．

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18. 在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n²-10n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n²-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由．

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19. 写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．

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20. 定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1，在△ABC中，若AB²+AC²-AB⋅AC=BC² ，则△ABC是“和谐三角形”．

(1)、等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”）．

(2)、若Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若△ABC 是“和谐三角形”，求a：b：c．

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21. 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
逆命题： ▲ .
已知：AB是一条线段，P是一点，且 ▲ ；求证： ▲ .
证明：（1）当P在线段AB上时，结论显然成立；
当点P不在线段AB上时，如图（请继续完成证明过程）

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22. 定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”

(1)、判断下列两个命题是真命题还是假命题 $($ 填“真”或“假” $)$
$①$ 等边三角形必存在“和谐分割线”

$②$ 如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．

命题 $①$ 是命题，命题 $②$ 是命题；

(2)、如图2， $R t △ A B C$ ， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 30^{\circ}$ ， $A C = 2$ ，试探索 $R t △ A B C$ 是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．

(3)、如图3， $△ A B C$ 中， $∠ A = 42^{\circ}$ ，若线段CD是 $△ A B C$ 的“和谐分割线”，且 $△ B C D$ 是等腰三角形，求出所有符合条件的 $∠ B$ 的度数．

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23. 探究问题：已知∠ABC ，画一个角∠DEF ，使DE∥AB ， EF∥BC ，且DE交BC于点P ． ∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？

(1)、我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为；

请选择其中一种情况说明理由．

②由①得出一个真命题（用文字叙述）：．

(2)、应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．

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