2023-2024学年高中数学A版（2019）高一（上）期末测试卷（二）

试卷更新日期：2023-12-14 类型：期末考试

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一、选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合 $U = {x \in N ∣ x < 7} ， M = {0 ， 1 ， 2} ， N = {0 ， 1 ， 6}$ ，则 $∁_{U} (M ∪ N) =$ （）

A、 ${3 ， 4 ， 5 ， 7}$ B、 ${3 ， 4 ， 5}$ C、 ${4 ， 5}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{0}}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3]$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3)$

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4. 若角 $α$ 的终边经过点 $(- 2 ， \sqrt{6})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$

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5. 设 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \cos 130 °$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 1}$ ，则其图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a x ， x < 2 \\ (6 - a) x + 2 ， x \geq 2 \end{array}$ 是R上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， 3)$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[2 ， 6)$ D、 $[2 ， 6]$

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8. 已知函数 $f (x)$ ､ $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = a x^{2} - x + 2$ ，若对于任意 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 4$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1] \cup [0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0)$

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二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. 已知函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{3} ， 3)$ 则（）

A、 $f (x)$ 的图象经过点 $(3 ， 9)$ B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内的值域为 $(0 ， + \infty)$

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10. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + (2 a + 1) x + 4 > 0$ ，则命题 $p$ 成立的一个充分条件可以是（）

A、 ${a | - \frac{5}{2} < a < 1}$ B、 ${a | - 1 < a < 0}$ C、 ${a | - \frac{5}{2} \leq a < \frac{3}{2}}$ D、 ${a | - 2 < a < \frac{3}{2}}$

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11. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， 0]$ 上的最小值为0

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12. 下列说法正确的是（）

A、若 $a ， b$ 为正数，且满足 $a + b + 3 = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为 $6$ B、已知实数 $a > - 1$ ，则表达式 $\frac{a^{2} - 2 a + 6}{a + 1}$ 的最小值为 $2$ C、已知实数 $a > 1 ， b > 1$ 且 $a \neq b$ ，满足 $a b + a - b - 5 = 0$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为 $1$ D、若两个不相等的正数 $a ， b$ 满足 $a b + 2 a + b - 2 = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{2 a + b}$ 的最小值为 $\frac{5 (\sqrt{2} + 1)}{2}$

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三、填空题（每题5分，共20分）

13. 已知 $t a n α = - 2 ， α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s α =$ .

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14. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧 $Q R T$ 是一个以 $O$ 点为圆心､ $Q T$ 为直径的半圆， $Q T = 60 \sqrt{3}$ 米.圆弧 $Q S T$ 的圆心为 $P$ 点， $P Q = 60$ 米，圆弧 $Q R T$ 与圆弧 $Q S T$ 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为平方米.

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15. 函数 $f (x) = e^{x + 1} + 2 x - 10$ 的零点所在区间为 $(n ， n + 1) ， n \in Z$ ，则 $n$ 的值为. $(e \approx 2.71828)$

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16. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且在 $[2021 ， 2022]$ 上是减函数，若 $A$ ､ $B$ 是钝角三角形的两个锐角，对（1） $f (\frac{k}{2}) = 0$ ， $k$ 为奇数；（2） $f (c o s A) < f (c o s B)$ ；（3） $f (s i n A) > f (s i n B)$ ；（4） $f (s i n A) < f (c o s B)$ ；（5） $f (c o s A) > f (s i n B)$ .则以上结论中正确的有.(填入所有正确结论的序号).

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四、解答题（共6题，共70分）

17. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 24 \leq 0} ， B = {x ∣ 6 - m \leq x \leq 3 m + 2}$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A ∩ B_{1}$ .

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知 $\frac{s i n (α + 2022 π) - 6 s i n (α - \frac{3 π}{2})}{2 c o s (α - π) - s i n α} = - t a n \frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $s i n α - c o s α$ 的值．

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19. 已知常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{2^{x}} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) ≤ 1$ 的解集（用区间表示）；

(2)、若函数 $y = f (x) + 2 x$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

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20. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x - \frac{π}{3}) + c o s 2 ω x$ （ $ω > 0$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的周期是 $π$ ，求 $ω$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[\frac{3}{2} ， 2]$ ，求 $ω$ 的取值范围.

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21. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 $25$ 万元 $\sim 1600$ 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 $y$ （单位：万元）随投资收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过 $75$ 万元，同时奖金不超过投资收益的 $20 %$ ．（即：设奖励方案函数模型为 $y = f (x)$ 时，则公司对函数模型的基本要求是:当 $x \in [25, 1600]$ 时，① $f (x)$ 是增函数；② $f (x) \leq 75$ 恒成立；③ $f (x) \leq \frac{x}{5}$ 恒成立．）

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{x}{30} + 10$ 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = a \sqrt{x} - 5 (a \geq 1)$ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 $a$ 的取值范围．
（参考结论：函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 的增区间为 $(- \infty, - \sqrt{a})$ 、 $(\sqrt{a}, + \infty)$ ，减区间为 $(- \sqrt{a}, 0)$ 、 $(0, \sqrt{a})$ ）

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22. 设函数 $y = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2$ .

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对于实数 $a \in [- 1 ， 1]$ 时恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、命题 $p$ ： $\forall x_{1} \in {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $\exists x_{2} \in {x | 1 \leq x \leq 4}$ ，使 ${x_{1}}^{2} + a x_{1} + 3 - a \geq \frac{4 {x_{2}}^{2} + 9}{4 x_{2}}$ 成立.若 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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2023-2024学年高中数学A版（2019）高一（上）期末测试卷 （二）

一、选择题（每题5分，共40分）

二、多项选择题（每题5分，共20分）

三、填空题（每题5分，共20分）

四、解答题（共6题，共70分）

2023-2024学年高中数学A版（2019）高一（上）期末测试卷（二）