【北师大版】2023-2024学年数学九年级（上）期末仿真模拟试题（三）

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，下面几何体是由一个圆柱被经过上下底面圆心的平面截得的，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 方程2x²+x-4=0的解的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数根 D、有一个实数根

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4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，AB=2，则AC长是（）

A、 B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 D、2

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5. 生活中到处可见黄金分割的美.如图，点 $C$ 将线段 $A B$ 分成 $A C$ 、 $C B$ 两部分，且 $A C > B C$ ，如果 $\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{C B}$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点.若 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A B = 2$ ，则分割后较短线段长为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} - 3$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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6. 一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（）个红球．

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与ΔOAB的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形ΔOCD.若点C的坐标为 $(- 1 ， - \frac{2}{3})$ ，则点A的坐标为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， 2)$ B、 $（ \frac{2}{3} ， 2 ）$ C、 $(3 ， \frac{2}{3})$ D、 $(3 ， 2)$

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8. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O ，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC ， EG⊥BD ，垂足分别为点F ， G ，则EF+EG的值为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{30}{13}$ C、 $\frac{60}{13}$ D、 $\frac{12}{5}$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在对角线 $B D$ 上，连接 $A E$ ， $E F ⊥ A E$ 于点E，交 $D C$ 于点F，连接 $A F$ ，已知 $B C = 4$ ， $D E = 3 \sqrt{2}$ ，则 $△ A E F$ 的面积为（）

A、4 B、5 C、10 D、 $5 \sqrt{2}$

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10. 一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为 $80 m^{2}$ 的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（）

A、 $x (\frac{27 - x}{2}) = 80$ B、 $x (26 - 2 x) = 80$ C、 $x (\frac{26 - x}{2}) = 80$ D、 $x (27 - 2 x) = 80$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 若 $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于．

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12. 计算 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + t a n 45 ° + 1 =$ .

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13. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} + 2022 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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14. 如图，点A是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝．

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15. 如图，正方形 $O A B C$ 中，A，C分别在x，y正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与边 $B C ， B A$ 分别交于点D，E，且 $B D = B E = \sqrt{2}$ ，对角线 $A C$ 把 $△ O D E$ 分成面积相等的两部分，则 $k =$ ．

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三、解答题

16. 解方程： $(x + 3) (x - \sqrt{3}) = x - \sqrt{3}$ ．

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17. 将A、B、C、D四人随机分成甲乙两组参加乒乓球双打比赛，求A、B同时分在甲组的概率．

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18. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE的高为1m，测得AB＝2m，AC＝10m，求建筑物CD的高.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，点E在AC的延长线上， $∠ A C D = ∠ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A E B$ ；

(2)、当 $A D = 4$ ， $A C = 3$ 时，求AE的长．

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20. 如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D ， F分别是边AB ， BC上的动点，点D不与点A ， B重合，过点D作DE $//$ BC ，交AC于点E ，连接DF ， EF ．

(1)、当DF⊥BC时，求证：△FBD∽△ABC；

(2)、在（1）的条件下，当四边形BDEF是平行四边形时，求BF的长；

(3)、是否存在点F ，使得△FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 c m ， B C = 8 c m$ ， D、E分别是 $A C 、 A B$ 的中点，连接 $D E$ ．点P从点D出发，沿 $D E$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ；同时，点Q从点B出发，沿 $B A$ 方向匀速运动，速度为 $2 c m / s$ ，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接 $P Q$ ，设运动时间为 $t (0 < t < 4) s$ ．解答下列问题：

(1)、 $D E =$ cm， $Q E =$ （用含有t的代数式表示）

(2)、请求出t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与 $△ A D E$ 相似？

(3)、当t为何值时， $△ E P Q$ 为等腰三角形？（直接写出答案即可）．

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22. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，构造方法如下：
首先将方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为 $x (x + 2) = 35$ ，然后画四个长为 $x + 2$ ，宽为 $x$ 的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为 $(x + x + 2)^{2}$ ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4$ ，因此，可得新方程： $(x + x + 2)^{2} = 144$ ， $∵ x$ 表示边长， $∴ 2 x + 2 = 12$ ，即 $x = 5$ ，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ ，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ ，即 $x$ （      ▲ ）=4；
第二步：利用四个面积可用 $x$ 表示为      ▲ 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如： $x^{2} + a x = b$ 一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数 $a =$       ▲ ， $b =$       ▲ ，求得方程的一个正根为      ▲ ．

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