上海宝山区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. $t a n 45 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ ； B、1； C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ； D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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2. 如果 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \neq 0$ ，那么代数式 $\frac{y^{2} + z y}{x z}$ 的值是（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{36}{15}$ C、 $\frac{24}{15}$ D、 $\frac{12}{5}$

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3. $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，下列各式中，能判断 $D E ∥ B C$ 的是（）

A、 $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}$ B、 $\frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$ C、 $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{C E}$ D、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A C}$

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ ，下列条件中不能判定 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ D、 $\vec{a} = \vec{c}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{c}$

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5. 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，第一象限内射线 $O A$ 与x轴正半轴的夹角为 $α$ ，点P在射线 $O A$ 上，如果 $c o s α = \frac{4}{5}$ 且 $O P = 5$ ，那么点P的坐标是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(4 ， 3)$ C、 $(3 ， 5)$ D、 $(5 ， 3)$

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6. 某同学对如下的问题进行探究．如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点E、F在边 $B C$ 上， $∠ E A F = ∠ B$ ．由上述条件该同学得到以下两个结论：
① $E F \cdot C E = A E^{2}$ ；② $B F \cdot C E = A C^{2}$
对于结论①和②下列说法 $\underset{˙}{正} \underset{˙}{确}$ 的是（）.

A、①错误，②正确； B、①正确，②错误； C、①和②都正确； D、①和②都错误．

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二、填空题

7. 如果 $\frac{c}{b} = 3$ ， $\frac{b}{a} = 9$ ，那么 $\frac{c}{a} =$ ．

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8. 计算： $2 \vec{a} - (\vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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9. 计算： $s i n 45 ° + c o s 45 ° =$ .

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10. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F ，如果 $∠ A = 45 °$ ， $∠ E = 60 °$ ，那么 $∠ C =$ $°$ .

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11. 已知线段 $A B$ 的长为4，点P为线段 $A B$ 上的一点，且 $A P^{2} = P B \cdot A B$ ，那么线段 $A P =$ ．

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12. 向量 $\vec{a}$ 和单位向量 $\vec{e}$ 的方向相反，且 $| \vec{a} | = 4$ ，那么 $\vec{a} =$ ．（用 $\vec{e}$ 表示）．

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13. $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = α$ ， $B C = 3$ ，那么 $A B =$ .（用 $α$ 表示）

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14. 已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为．

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15. 如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果 $A D ∥ B E ∥ C F$ ，且 $D E ： E F = 2 ： 3$ ， $A C = 10$ ，那么 $B C =$ .

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $c o s \frac{A}{2} =$

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17. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点D、E分别在边 $B C$ 、 $A B$ 上， $∠ A D E = 60 °$ ，如果 $B D = 4 D C$ ， $D E = 4$ ，那么 $A D =$ ．

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 的中点，将 $△ B C E$ 沿直线 $C E$ 翻折后，点B落在点M处，连接 $A M$ 并延长与边 $C D$ 交于点N ，那么 $A M ： M N$ 的值为．

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三、解答题

19. 计算； $| t a n 30 ° - 1 | - {(- 1)}^{2023} + c o s 45 ° - \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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20. 如图，已知D、E分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{B D} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $\frac{D E}{B C}$ 的值；

(2)、联结 $B E$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，试用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{B E}$ ．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点E ， $∠ B A C = ∠ B D C = 90 °$ ，

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ D C E$ ；

(2)、如果 $\frac{A D}{B C} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ ，求 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ B C E}}$ 的值．

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22. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{2}{3}$ ， D是边 $A C$ 的中点，连结 $B D$ ．

(1)、已知 $B C = \sqrt{5}$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、求 $c o t ∠ A B D$ 的值．

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23. 某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道 $m$ 、 $n$ 之间的距离为9米， $△ A B C$ 表示这块空地， $B C = 36$ 米.现要在空地内划出一个矩形 $D G H E$ 区域建造花坛，使它的一边在 $B C$ 上，其余两个顶点分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上.

(1)、如果矩形花坛的边 $D G ： D E = 1 ： 2$ ，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；

(2)、矩形花坛的面积能否占空地面积的 $\frac{5}{9}$ ？请作出判断并说明理由.

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24. 如图，在直角坐标平面内，已知直线 $y = - 2 x + 4$ 与x轴、y轴分别交于点A、B ，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C ．

(1)、求 $∠ A P C$ 的正切值；

(2)、如果四边形 $A C P B$ 是等腰梯形，求平移后的直线表达式；

(3)、如果 $△ A P B$ 与 $△ A P C$ 相似，求这时四边形 $A C P B$ 的面积．

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25. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ， E是射线 $B A$ 上一点（不与点B重合），线段 $B E$ 的垂直平分线与边 $B C$ 交于点D.

(1)、点E在边 $B A$ 上，
①如图1，连接 $C E$ ，如果 $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，求 $B D$ 的长；
②如图2，射线 $D E$ 交射线 $C A$ 于点F ，设 $B D = x$ ， $A F = y$ ，求y关于x的的数解析式，并写出定义域.

(2)、如果 $△ C D E$ 是直角三角形，求 $B D$ 的长.

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