上海市虹口区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个等腰三角形

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2. 如果5x=6y，那么下列结论正确的是（）

A、 $x : 6 = y : 5$ B、 $x : 5 = y : 6$ C、 $x = 5, y = 6$ D、 $x = 6, y = 5$

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3. 符号tanA表示（　　）

A、∠A的正弦 B、∠A的余弦 C、∠A的正切 D、∠A的余切

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4. 已知 $\vec{a} = 5 \vec{b}$ ，下列说法中，不正确的是（　　）

A、 $\vec{a} = 5 \vec{b} = 0$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同 C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = 5 | \vec{b} |$

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5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（）

A、 $\frac{B A}{B D} = \frac{C A}{C E}$ B、 $\frac{E A}{E C} = \frac{D A}{D B}$ C、 $\frac{E D}{B C} = \frac{E A}{A C}$ D、 $\frac{E A}{A D} = \frac{A C}{A B}$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B A D$ 的平分线交 $B D$ 于 $E$ ，交 $D C$ 于 $F$ ，交 $B C$ 的延长线于 $G$ ．那么下列结论正确的是（　　）

A、 $A E^{2} = E F \cdot F G$ B、 $A E^{2} = E F \cdot A G$ C、 $A E^{2} = E G \cdot F G$ D、 $A E^{2} = E F \cdot E G$

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二、填空题

7. 在比例尺为 $1 ： 500000$ 的地图上，某两地图距为3厘米，则这两地的实际距离是千米．

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8. 已知线段 $A B = 10$ ， $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，则 $A P =$ ．

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9. 已知向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 方向相反，且 $|\vec{a}| = 3$ ，那么 $\vec{a}$ = （用向量 $\vec{e}$ 的式子表示）

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10. 化简：2（ $\vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ ）﹣（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）＝．

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11. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ ，点 $D 、 E$ 分别在 $△ A B C$ 的两边 $A B 、 A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ，如果 $A E = 4 ， E C = 8 ， D E = 3$ ，那么线段 $B C$ 的长是．

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13. 如图，已知 $A D ∥ B E ∥ C F$ ，它们依次交直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 于点 $A 、 B 、 C$ 和点 $D 、 E 、 F$ ．如果 $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3} ， D F = 20$ ，那么线段 $D E$ 的长是．

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14. 如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB= ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13 ， B C = 10 ， A D ⊥ B C ，$ 垂足为点D ， $B E$ 是 $A C$ 边上的中线， $A D$ 与 $B E$ 相交于点G ，则 $G E$ 的长为．

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16. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， B C = 3 A D$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $\frac{A E}{B E} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ B E C$ 的面积与四边形 $A E C D$ 的面积之比为．

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17. 将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得 $△ A B^{'} C^{'}$ ，如图①，我们将这种变换记为 $[θ ， n]$ ，如图②，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A B = 3 ， B C = 2$ ，如果对 $△ A B C$ 作变换 $[θ ， n]$ 得 $△ A B^{'} C^{'}$ ，使点B ， C ， B′在同一直线上，且 $B^{'} C^{'} ⊥ B C$ ，那么 $n =$ ．

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18. 如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M ，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{B E}{C F}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ，则MF＝．

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三、解答题

19. 已知 $a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} \neq 0$ 求： $\frac{2 a - b + c}{a + b}$ 的值．

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20. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，设 $\vec{A D} = \vec{a} ， \vec{A B} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 的式子表示向量 $\vec{B C} =$ ． $\vec{C D} =$ ， $\vec{D O} =$ ；

(2)、在图中作出向量 $\vec{C O}$ 在 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 方向上的分向量，并写出结论．

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21. 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠ABD＝∠C ， AD＝4，BC＝9，锐角∠DBC的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ．求：

(1)、对角线BD的长；

(2)、梯形ABCD的面积．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P 、 D$ 分别在边 $B C 、 A C$ 上， $P A ⊥ A B$ ，垂足为点 $A$ ， $D P ⊥ B C$ ，垂足为点 $P ， \frac{A P}{P D} = \frac{B P}{C D}$ ．

(1)、求证： $∠ A P D = ∠ C$ ；

(2)、如果 $A B = 4 ， D C = 3$ ，求 $A P$ 的长．

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23. 已知，在菱形 $A B C D$ 中， $C F ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ， $C E$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ．

(1)、求证： $\frac{A B}{B E} = \frac{C F}{E F}$ ；

(2)、 $D F \cdot D B = 2 B C^{2}$

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24. 已知在平面直角坐标系中 $A (2 ， - 1) ， B (0 ， 3)$ ，线段 $A B$ 与x轴交于点C ，经过点B的直线 $y = - x + b$ 与x轴交于点D ．

(1)、求点C、D的坐标；

(2)、连接 $A D 、 B D$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、点P在x轴上且在点D的右侧，如果 $∠ A P B = 45 °$ ，求点P的坐标．

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25. 如图， $△ A B C$ 中 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 8$ ， $C D ⊥ A B$ ． $E$ 是 $A C$ 边上的一点，（ $E$ 与 $A$ 、 $C$ 不重合）连接 $D E$ ，作 $C F ⊥ D E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $D E$ 于点 $G$

(1)、求 $A D$ 、 $C D$ 的长

(2)、设 $C E = x$ ， $D F = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出定义域

(3)、连接 $E F$ ，当 $△ E F G$ 与 $△ C D G$ 相似时，求 $C E$ 的长

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