上海市嘉定区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形一定是相似图形的是（　　）

A、两个矩形 B、两个等腰三角形 C、两个直角三角形 D、两个正方形

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2. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　）

A、 $a = 6$ ， $b = 3$ ， $c = 9$ ， $d = 8$ B、 $a = 4$ ， $b = 0.3$ ， $c = 6$ ， $d = 0.2$ ； C、 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 3$ ． $c = 2$ ， $d = \sqrt{3}$ ； D、 $a = 1$ ， $b = 3$ ， $c = 2$ ， $d = 4$

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3. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，如果 $A D = 4$ ， $D B = 3$ ，那么由下列条件能够判断 $D E ∥ B C$ 的是（　　）

A、 $\frac{A E}{A C} = \frac{4}{3}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{4}{7}$ C、 $\frac{E C}{A C} = \frac{3}{7}$ D、 $\frac{E C}{A E} = \frac{4}{3}$

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4. 下列命题中，正确的是（）

A、如果 $\vec{e}$ 为单位向量，那么 $\vec{a} = | \vec{a} | \vec{e}$ B、如果 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ C、如果 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} // \vec{b}$ D、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，那么 $\vec{a} = \vec{b}$

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5. 下列条件中，不能判定 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 相似的是（　　）

A、 $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $∠ A = 55 °$ ， $∠ D = 35 °$ ； B、 $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $D E = 15$ ， $E F = 9$ ； C、 $∠ B = ∠ E = 90 °$ ， $\frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}$ ； D、 $∠ B = ∠ E = 90 °$ ， $\frac{A B}{E F} = \frac{D F}{A C} .$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $C E$ 与 $A D$ 交于点M ， $∠ A C E = ∠ B$ ，下列结论中正确的个数是（　　）

① $△ A C M ∽ △ A B D$ ；② $△ A C E ∽ △ A B C$ ；
③ $△ A E M ∽ △ C D M$ ；④ $△ A E M ∽ △ A C D$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

7. 如果 $5 x = 3 y$ ，那么 $\frac{x + y}{x} =$ .

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8. 如果两个相似三角形的面积之比为 $1 ： 9$ ，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为．

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9. 若线段 $a = 2 ， b = 3$ ，则线段a ， b的比例中项 $c =$ ．

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10. 已知点P是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A B = 6$ ，那么 $A P$ 的长是

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11. 化简： $2 (a - \frac{1}{2} b) - 3 (a + b) =$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，那么它的重心G到C点距离是.

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13. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，它们依次交直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于点A、C、E和点B、D、F ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点O ，如果 $A C = 2$ ， $O C = 1$ ， $O F = 3$ ， $B E = 8$ ，那么 $D E$ 的长为．

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14. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $E F ∥ C D$ ， $A B = 2$ ， $E F = 5$ ， $\frac{A E}{E D} ＝ \frac{3}{2}$ ，则 $D C =$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 和边 $A C$ 上， $∠ A D E = ∠ C ， A D = 3 ， A B = 6$ ， $A C = 8$ ，那么 $C E =$ .

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16. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E是 $A B$ 的中点， $A F ： D F = 2 ： 3$ ，射线 $E F$ 与 $A C$ 交于点O ，与 $C D$ 的延长线交于点H ，则 $\frac{A O}{O C}$ 的值为.

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17. 如图，已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D是 $A C$ 上的一点， $∠ A = ∠ D B C$ ， $\frac{B D}{A B} ＝ \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{A D}{C D}$ 的值为.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D、E分别在 $A C 、 B C$ 上，且 $∠ C D E = ∠ B$ ，将 $△ C D E$ 沿着 $D E$ 折叠，点C恰好落在 $A B$ 边上的点F处，如果 $A C = 8 ， B C = 6$ ，那么 $C D$ 的长为

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三、解答题

19. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ ，且2a+b $-$ c＝4，求a、b、c的值．

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20. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，点E是 $A B$ 上的一点， $\vec{A E} ＝ \frac{1}{2} \vec{E D}$ ， $B D$ 和 $E C$ 相交于点F ．

(1)、求 $\frac{D F}{B F}$ 的值；

(2)、如果 $\vec{B A} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ．

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21. 如图，点D、E分别在线段 $A B$ 和 $A C$ 上， $B E$ 与 $C D$ 相交于点O ， $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ ， $D F ∥ A C$ ，求证： $△ D O F ∽ △ B O D$ ．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B 、 A C$ 上， $B E 、 C D$ 相交于点O ， $O C = 4 O D$ ， $O B = 4 O E$ ．

(1)、如果 $A E = 4$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、如果 $△ A D E$ 的面积为2，求 $△ D E C$ 的面积.

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23. 已知：如图，梯形 $A B C D$ 中， $D C ∥ A B$ ， $A C = A B$ ，过点 $D$ 作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、如果 $∠ D E C = ∠ B E C$ ，求证： $C E^{2} = E D \cdot C B$ ；

(2)、如果 $A D^{2} = A E \cdot A C$ ，求证： $A D = B C$ ．

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24. 已知，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 2 x + 2$ 与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为 $(3 ， 2)$ ，连接 $A C$ ，与y轴相交于点D

(1)、求线段 $A B$ 的长度；

(2)、求点D的坐标；

(3)、点E在x轴上，如果 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ 相似，求点E的坐标．

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25. 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE．

(1)、如图1，当点E与点C重合时，求BP的长；

(2)、当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y；
①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长．

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