上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（）

A、边的长度 B、图形的周长 C、图形的面积 D、角的度数

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2. 小明有一张上海市地图，地图的比例尺是 $1 ： 20000$ ，如果A ， B两地在地图上的距离是4厘米，那么A ， B两地的实际距离是（）

A、8千米 B、0.8千米 C、0.08千米 D、0.008千米

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3. 已知 $\vec{a}$ 是非零向量，如果与 $\vec{a}$ 同方向的单位向量记作 $\vec{e}$ ，那么下列式子中正确的是（）

A、 $| \vec{e} | \cdot \vec{a} = | \vec{a} |$ B、 $\frac{1}{| \vec{a} |} \cdot \vec{a} = 1$ C、 $| \vec{a} | \cdot \vec{e} = \vec{a}$ D、 $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{e} |} = \vec{a}$

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， a ， b ， c分别表示 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边，那么下列结论中错误的是（）

A、 $a = b c o t A$ B、 $a = c s i n A$ C、 $c = \frac{b}{c o s A}$ D、 $b = a t a n B$

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5. 如图，点D、E、F分别在 $△ A B C$ 的边 $A B 、 A C 、 B C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ，下列4个式子中，不正确的是（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ B、 $\frac{B D}{A D} = \frac{B F}{F C}$ C、 $\frac{A E}{E C} = \frac{B F}{F C}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{B F}{B C}$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (3 ， 0)$ ，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与 $△ A O B$ 相似，那么这样的点D有（）个

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

7. 若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} \neq 0$ ，那么 $\frac{x + y - 2 z}{x + 2 y} =$ ．

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8. 已知线段b是线段a ， c的比例中项， $a = 4 c m$ ， $b = 6 c m$ ，那么 $c =$ cm．

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9. 已知点D是 $△ A B C$ 的 $A B$ 边的黄金分割点， $A D > B D$ ，作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 边于点E ，那么 $\frac{D E}{B C} =$ ．

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10. 如图， $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ， $A D = 4$ ， $D F = 3$ ， $B E = 10$ ，那么 $B C =$ ．

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11. 已知，点D ， E分别在 $△ A B C$ 的 $A B$ ， $A C$ 边上，且 $D E ∥ B C$ ， $C D$ 与 $B E$ 相交于点F ．如果 $\frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{D F}{D C}$ 的值是．

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12. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s B = \frac{5}{7}$ ，如果 $A B = 14$ ，那么 $A C =$ ．

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13. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是．

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14. 如图， $A D$ 经过 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{D A}$ 可以用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示为： $\vec{D A} =$ ．

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15. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB的坡度为．

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16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是 $\frac{1}{2}$ ，那么窗口的高AB等于米．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，四边形 $C D E F$ ， $F G H M$ ， $G N P Q$ 均为正方形，P ， G ， N在BC边上，点E ， H ， P在AB边上．如果 $D E = 6$ ， $G F = 4$ ，那么正方形 $G N P Q$ 的面积为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8$ ， $t a n A = \frac{3}{4}$ ，点M ， N分别在 $A C ， B C$ 边上，将 $△ A B C$ 沿直线 $M N$ 翻折，点C恰好落在边 $A B$ 上，记为点 $C_{1}$ ，如果 $△ C_{1} M N$ 与 $△ A B C$ 相似，那么折痕 $M N$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： $t a n^{2} 60 ° - \sqrt{3} c o t 60 ° + \frac{4 c o s 60 ° - 2 c o s 45 °}{s i n 30 ° - t a n 45 °}$

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ ， $C H$ 分别是 $A B$ 边上的中线和高， $B C = 6$ ， $c o s ∠ A C D = \frac{4}{5}$ ，求 $A B$ ， $C H$ 的长．

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21. 已知：如图，平行四边形 $A B C D$ 中，点M、N分别在边 $D C$ 、 $B C$ 上，对角线 $B D$ 分别交 $A M$ 、 $A N$ 于点E、F ，且 $D E ： E F ： B F = 1 ： 2 ： 1$ ．

(1)、求证： $M N ∥ B D$ ；

(2)、设 $\vec{A M} = \vec{a}$ ， $\vec{A N} = \vec{b}$ ，请直接写出 $\vec{M N}$ 和 $\vec{B D}$ 关于 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的分解式： $\vec{M N} =$ ； $\vec{B D} =$ ．

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22. 如图，海中有一小岛P ，在以P为圆心，半径为 $16 \sqrt{2}$ 海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 $60 °$ 方向上，且A ， P之间的距离为32海里．

(1)、若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？

(2)、如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东 $α$ 度方向航行确保安全通过这一海域，求 $α$ 的取值范围．

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23. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D C B = 90 °$ ，点E是边 $A B$ 中点，连接 $D E$ 并延长 $D E$ 交 $C B$ 的延长线于点F ， $∠ C B A = 2 ∠ F$ ，且 $A C = B C$ ．

(1)、求证： $△ F B E ∽ △ F E C$ ；

(2)、求证： $D C^{2} = A D \cdot F C$ ．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知直线l： $y = x + 4$ 交x轴于点A ，交y轴于点B ，点C在x轴正半轴上，且 $O C = 2$ ．点D在线段 $A C$ 上，且 $∠ C D B = ∠ A B C$ ，过点C作 $B C$ 的垂线，交 $B D$ 的延长线于点E ，连接 $A E$ ．

(1)、求点D的坐标；

(2)、求证： $A E ⊥ A B$ ；

(3)、如果点P是直线 $C E$ 上的动点，连接 $D P$ ，当 $△ D E P$ 与 $△ A B C$ 相似时，求点P坐标．

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25. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ．点P是射线 $B C$ 上的动点，联结 $A P$ ；

(1)、如图1，当 $D P ⊥ A C$ 交 $A C$ 于点E时，求 $t a n ∠ B A P$ 的值；

(2)、如图2，当点P在 $B C$ 边上时（与端点B ， C不重合），过点P作 $A P$ 的垂线，交 $C D$ 于点F ，交 $A C$ 于点G ．设 $B P = x$ ， $\frac{F G}{A P} = y$ ，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

(3)、将 $△ A B P$ 沿直线 $A P$ 翻折，点B落在点Q处，直线 $P Q$ 交边 $A D$ 于点M ，当 $\frac{M D}{M A} = \frac{1}{7}$ 时，求 $B P$ 的长．

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