上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 对于线段a，b，如果a∶b＝2∶3，那么下列四个选项一定正确的是（）

A、2a＝3b B、b－a＝1 C、 $\frac{a + 2}{b + 3} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{a + b}{b} = \frac{5}{2}$

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2. $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，若 $B C = 2$ ， $A C = 3$ ，下列各式中正确的是 $($ $)$

A、 $s i n A = \frac{2}{3}$ B、 $c o s A = \frac{2}{3}$ C、 $t a n A = \frac{2}{3}$ D、 $c o t A = \frac{2}{3}$

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3. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，而且 $\vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 的方向相反，那么下列结论中正确的是（）

A、 $3 \vec{a} = 2 \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} = 3 \vec{b}$ C、 $3 \vec{a} = - 2 \vec{b}$ D、 $2 \vec{a} = - 3 \vec{b}$

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4. 如图， $△ P Q R$ 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A、B、C、D也是小正方形的顶点，那么与 $△ P Q R$ 相似的是（）

A、以点P、Q、A为顶点的三角形 B、以点P、Q、B为顶点的三角形 C、以点P、Q、C为顶点的三角形 D、以点P、Q、D为顶点的三角形

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5. 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，且S_△_BOD＝5，则△ABC的面积是（）

A、30 B、20 C、15 D、5

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6. 如图，已知在 $Δ A B C$ 中，边 $B C = 6$ ，高 $A D = 3$ ，正方形 $E F G H$ 的顶点 $F 、 G$ 在边 $B C$ 上，顶点 $E 、 H$ 分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上，那么这个正方形的边长等于（）

A、3 B、2.5 C、2 D、1.5

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二、填空题

7. 已知 $D$ 、 $E$ 分别是 $Δ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 的延长线上的点，若 $\frac{A D}{A B} = \frac{7}{3}$ ，则 $\frac{A C}{A E}$ 的值是时， $D E ∥ B C$ .

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8. 已知线段 $a = 3 c m$ ， $c = 6 c m$ ，若线段 $c$ 是线段 $a$ 、 $b$ 的比例中项，则 $b$ ＝ $c m$ ．

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9. 已知，两个相似的 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的最短边的长度之比是 $3 ： 1$ ，若 $△ A B C$ 的周长是27，则 $△ D E F$ 的周长为．

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10. 计算： $(\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) - \frac{1}{2} (2 \vec{a} + \vec{b}) =$ ．

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11. 若 $\vec{a} = 2 \vec{c}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{c}$ ，且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的位置关系是．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别在边AB、AC上， $D E ∥ B C$ ， $B D = 2 A D$ ， $\vec{A B} = \vec{m}$ ， $\vec{D E} = \vec{n}$ ，那么 $\vec{D C}$ 用 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 表示为： $\vec{D C} =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $A B$ 的中点， $A B = \sqrt{2} A C$ ， $B C = 4$ ．则 $C D$ = ．

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14. 如图，将 $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 方向平移得到 $△ D E F$ ，边 $D E$ 与 $A C$ 相交于点 $G$ ，如果 $B C = 3 c m$ ， $△ A B C$ 的面积等于 $9 c m^{2}$ ， $△ G E C$ 的面积等于 $4 c m^{2}$ ，那么 $B E =$ $c m$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 边上， $D E ∥ B C$ ，若 $A E ： A C = 1 ： 3$ ，则 $S_{△ D E C} ： S_{△ D B C}$ = ．

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16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值是．

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17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， BD平分∠ABC交AC于点D，DE平分∠BDC交BC于点E，则 $\frac{E C}{A D}$ ＝．

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18. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 10 ， B C = 6$ ，点D、E分别在 $B C 、 A C$ 上，且 $∠ C D E = ∠ A$ ，若 $△ C D E$ 沿 $D E$ 翻折，点C恰好落在 $A B$ 边上，则 $D E$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算
$\frac{2 c o s 3 0^{∘} + 3 c o t 6 0^{∘}}{2 s i n 6 0^{∘} - t a n^{2} 4 5^{∘}}$ ．

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20. 如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知S_△_AGF：S_△_ABC＝9：64，EF＝10，求AH的长．

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21. 如图，点E是平行四边形ABCD边BC上一点，且BE：EC=2：1，点F是边CD的中点，AE与BF交于点O．

(1)、设 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ；

(2)、求BO：OF的值．

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22. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．

(1)、求证：AE•BC=BD•AC；

(2)、如果 $S_{△ ADE}$ =3， $S_{△ BDE}$ =2，DE=6，求BC的长．

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23. 如图，在直角梯形ABCD中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ，对角线AC、BD相交于点O ．过点D作 $D E ⊥ B C$ ，交AC于点F ．

(1)、联结OE ，若 $\frac{B E}{E C} = \frac{A O}{O F}$ ，求证： $O E ∥ C D$ ；

(2)、若 $A D = C D$ 且 $B D ⊥ C D$ ，求证： $\frac{A F}{A C} = \frac{D F}{O B}$ ．

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24. 如图，点D是 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 上一点，点E是直线 $A C$ 左侧一点，且 $E C ⊥ C D$ ， $∠ E A C = ∠ B$ ．

(1)、求证： $△ C D E ∽ △ C B A$ ；

(2)、如果点D是斜边 $A B$ 的中点，且 $t a n ∠ B A C = \frac{3}{2}$ ，试求 $\frac{S_{Δ C D E}}{S_{Δ C B A}}$ 的值．

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25. 已知，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3} ，$ $∠ B A C = 120 °$ ， $△ A D E$ 的顶点D在边 $B C$ 上， $A E$ 交 $B C$ 于点F（点F在点D的右侧）， $∠ D A E = 30 °$ ．

(1)、求证： $△ A B F ∽ △ D C A$ ；

(2)、当 $D F = 1$ 时，求 $B D$ 的长；

(3)、若 $A D = E D$ ，连接 $E C$ ，写出 $C E$ 与 $A B$ 的位置关系，并证明结论．

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