上海市松江区2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、填空题

1. 要使式子 $\sqrt{x - 6}$ 有意义，则x的取值范围是．

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2. 计算： $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} =$ ．

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3. 化简： $\sqrt{50 a^{2} b^{5}} (a > 0) =$ ．

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4. 若最简二次根式 $\sqrt{2 x + 3}$ 和 $\sqrt{9 - x}$ 是同类二次根式，则 $x =$ ．

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5. 方程 $x^{2} = 7 x$ 的根是．

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6. 解不等式： $\sqrt{3}$ x﹣3＜2x的解集是．

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7. 若 $y = (m - 1) x$ 是y关于x的正比例函数，且该函数图象经过第二、四象限，则m的取值范围是．

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8. 已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长为．

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2}$ ，则 $f (\sqrt{3}) =$ ．

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10. 已知关于x的一元二次方程 ${(x - 1)}^{2} = 3 - k$ 没有实数根，那么k的取值范围是．

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11. 如果函数y＝（m﹣1） $x^{m^{2} - 3}$ 是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值．

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12. 在实数范围内分解因式 $2 x^{2} + 3 x - 1 =$ ．

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13. 某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为 $x$ ，则可列方程为．

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14. 已知 $(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 3) (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1) = 5$ ，则 $\sqrt{x} + \sqrt{y} =$ ．

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15. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如 $x^{2} + x = 0$ 是“差1方程”．若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + \sqrt{5} x + 1 = 0$ （a是常数，且 $a \neq 0$ ）是“差1方程”，则a的值为．

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二、单选题

16. 下列根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是( )

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ D、 $\sqrt{18}$

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17. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{3} - 16 = 0$ ； B、 $(x + 3) (x - 3) + 4 = 0$ ； C、 $5 x^{2} - 4 x y + 3 y^{2} = 0$ D、 $x - \frac{1}{x} = 0$ ．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - a = 0$ （a、b为常数，且 $a \neq 0$ ），这个方程的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、不能判断

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19. 已知正比例函数 $y = (k^{2} + 3) x$ 的图象上两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} > 0$ B、 $y_{1} + y_{2} < 0$ C、 $y_{1} - y_{2} > 0$ D、 $y_{1} - y_{2} < 0$

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20. 如图，点B、C分别在两条直线 $y = k x$ 和 $y = - 6 x$ 上，点A、D是x轴上两点，若四边形 $A B C D$ 是正方形，则k的值为（）

A、6 B、5 C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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三、解答题

21. 计算： $\sqrt{32} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ．

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22. 计算： $6 a \sqrt{a^{2} b^{5}} \div (- 2 \sqrt{a^{3} b}) \times \sqrt{\frac{b}{a}}$ ．

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23. 用配方法解方程： $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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24. 解方程： $(x - 2)^{2} = x (2 - x)$

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25. 先化简，再求值：已知 $a = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{1 - 2 a + a^{2}}{a^{2} - a}$ 的值．

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26. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 6 m x + 4 m - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根．

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27. 某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件．

(1)、若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出件；

(2)、为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？

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28. 定义：对于给定的两个函数，当 $x \geq 0$ 时，它们对应函数值相等；当 $x < 0$ 时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：正比例函数 $y = - x$ ，它的相关函数为 $y = {\begin{array}{l} - x (x \geq 0) \\ x (x < 0) \end{array}$

(1)、已知点 $M (- 1 ， m)$ 在正比例函数 $y = - x$ 的相关函数的图象上，则m的值为；

(2)、已知正比例函数 $y = 2 x$
①这个函数的相关函数为；
②若点 $N (n ， 3)$ 在这个函数的相关函数的图象上，求n的值．

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29. 如图，已知正比例函数 $y = k x$ 的图像经过点A ，点A在第四象限，过点A作 $A H ⊥ x$ 轴，垂足为H ，点A的横坐标为4，且 $△ A O H$ 的面积为8．

(1)、求正比例函数的解析式；

(2)、若点P是该正比例函数 $y = k x$ 图像上一点，且使得 $△ A H P$ 的面积是 $△ A O H$ 面积的两倍，求点P的坐标；

(3)、已知 $O A = 4 \sqrt{2}$ ，在直线 $O A$ 上（除O点外）是否存在点M ，使得 $△ A H M$ 为等腰三角形？若存在，直接写出 $O M$ 的长；若不存在，请说明理由．

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