上海市松江区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $a c = b d$ （a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ B、 $\frac{c}{b} = \frac{d}{a}$ C、 $\frac{c + 1}{b} = \frac{d + 1}{a}$ D、 $\frac{b}{d} = \frac{c}{a}$

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2. 已知在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，那么下列条件中不能够判断 $M N ∥ B C$ 的是（）

A、 $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ B、 $\frac{A M}{B M} = \frac{A N}{C N}$ C、 $\frac{B M}{A B} = \frac{C N}{A C}$ D、 $\frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

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3. 已知 $\vec{e}$ 是一个单位向量， $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是非零向量，那么下列等式正确的是（）

A、 $| \vec{a} | \vec{e} = \vec{a}$ B、 $| \vec{e} | \vec{b} = \vec{b}$ C、 $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} = \vec{e}$ D、 $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} = \frac{1}{| \vec{b} |} \vec{b}$

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果AC=m ， $∠ A = β$ ，那么AB的长为（　　）

A、 $m \cdot s i n β$ B、 $m \cdot c o s β$ C、 $\frac{m}{s i n β}$ D、 $\frac{m}{c o s β}$

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5. 下列说法正确的个数有（）
①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别在边AB、AC上， $D E / / B C$ ， $E F / / C D$ 交AB于F ，那么下列比例式中正确的是 $($ ）

A、 $\frac{A F}{D F} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{D F}{D B} = \frac{A F}{D F}$ C、 $\frac{E F}{C D} = \frac{D E}{B C}$ D、 $\frac{A F}{B D} = \frac{A D}{A B}$

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二、填空题

7. 在比例尺为 $1 ： 5000000$ 的地图上，测得甲、乙两地的距离约为6厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为千米．

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8. 如果 $\frac{x + y}{y} = \frac{3}{2}$ ，那么 $\frac{x}{y} =$ ．

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9. 如果两个相似三角形的对应高的比为 $2 ： 3$ ，那么这两个三角形的面积比为．

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10. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 延长线上一点， $B E$ 交 $C D$ 于点F ，且F为 $C D$ 的黄金分割点（ $D F > C F$ ），那么 $D E ： A E$ 的值为．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，则 $∠ A$ 的余切值为．

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12. 如图，点G是 $△ A B C$ 的重心， $G F ∥ B C$ 交 $A C$ 于点F ，若 $△ A G F$ 的面积为4，则 $△ A B C$ 的面积为．

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13. 如图，已知点M、N分别在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上， $M N ∥ B C$ ，且 $A M ： B M = 2 ： 1$ ，设 $\vec{M N} = \vec{a}$ ，用 $\vec{a}$ 表示 $\vec{C B}$ ，则 $\vec{C B} =$ ．

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14. 已知 $α$ 为锐角， $s i n (α - 15 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α$ = 度．

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15. 某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 $i =$ ．

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16. 已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O ， OE⊥AB ，垂足为点E ， AC＝4，那么sin∠AOE＝．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 的中垂线 $D E$ 交 $A C$ 于点D ，交 $A B$ 于点E ，若 $B C = 4$ ， $A C = 10$ ，则 $∠ C B D$ 的正切值为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 16$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $B D = A B$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $D$ 旋转，使点 $A$ 的对应点 $E$ 落在 $△ A B C$ 的边上，则 $B E$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{s i n^{2} 45 °}{t a n 30 ° \cdot c o s 60 °} + \frac{s i n 60 ° \cdot c o t 45 °}{s i n 30 °}$ ．

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20. 如图，已知梯形 $A B C D$ 是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽 $A D = 6$ 米，坝高18米，迎水坡 $C D$ 的坡度 $i_{1} = 1 ： 1$ ，背水坡 $A B$ 的坡度 $i_{2} = \frac{3}{2}$ ，求坝底宽 $B C$ ．

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21. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高，且 $B C = 6$ ， $A D = 4$ ，矩形 $E F G H$ 的顶点 $F$ 、 $G$ 在边 $B C$ 上，顶点 $E$ 、 $H$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上．

(1)、设 $E F = x (0 < x < 4)$ ，矩形 $E F G H$ 的周长为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、当 $E F G H$ 为正方形时，求EF的长度．

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22. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，点E在BC上，且 $\frac{E C}{B E} = \frac{1}{2}$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ．

(1)、求 $A O ： O F$ 的值；

(2)、设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{D E}$ ．

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23. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ，点E为边 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F ，且 $B E ⊥ A C$ ，连接 $D F$ ．求证：

(1)、 $D E^{2} = E F \cdot E B$ ；

(2)、 $△ A B O ∽ △ C F D$ ．

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24. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 边上一点，且 $A B = A D$ ，点E是 $A D$ 边上一点，且 $∠ E B D = ∠ C$ ．

(1)、求证： $\frac{E D}{A B} = \frac{B D}{B C}$ ；

(2)、若 $B D = 4$ ， $c o s ∠ E D B = \frac{1}{3}$ ， $t a n C = \frac{2}{3}$ ，求 $B D ： B C$ 的值．

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25.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A B$ 上一点，过点 $E$ 作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点 $F$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上任意一点，连结 $A D$ 交 $E F$ 于点 $G$ ，求证： $\frac{E G}{G F} = \frac{B D}{C D}$ ；

(2)、如图2，在（1）的条件下，连结 $B F$ ， $D F$ ，若 $\frac{E G}{F G} = \frac{1}{2}$ ，若 $∠ C = 30 °$ ，且 $F E$ 、 $F B$ 恰好将 $∠ A F D$ 三等分，求 $\frac{D F}{F C}$ 的值；

(3)、如图3，在等边 $△ A B C$ 中， $D C ： D B = 1 ： 4$ ，连结 $A D$ ，点 G在 $A D$ 上，若 $∠ B G C = 120 °$ ，求 $\frac{C D}{C G}$ 的值．

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