上海市杨浦区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $3 a = 2 b$ （ $a$ 、 $b$ 均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（　　）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

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2. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ ，那么下列结论正确的是（　　）

A、 $s i n A = \frac{3}{4}$ B、 $c o s A = \frac{4}{5}$ C、 $t a n A = \frac{4}{5}$ D、 $c o t A = \frac{3}{4}$

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3. 下列两个三角形不一定相似的是（　　）

A、有一个内角是 $30 °$ 的两个等腰三角形 B、有一个内角是 $60 °$ 的两个等腰三角形 C、有一个内角是 $90 °$ 的两个等腰三角形 D、有一个内角是 $120 °$ 的两个等腰三角形

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4. 下列说法中，正确的是（　　）

A、如果 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是相反向量，那么 $\vec{a} + \vec{b} = 0$ B、如果 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是平行向量，那么 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ D、如果 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ （ $\vec{b}$ 为非零向量），那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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5. 已知点 $D$ 、 $E$ 分别在 $△ A B C$ 边 $B A$ 、 $C A$ 的延长线上，下列条件中一定能判断 $D E ∥ B C$ 的是（　　）

A、 $A D ： A B = D E ： B C$ B、 $A D ： A B = A E ： E C$ C、 $A D ： A B = A E ： A C$ D、 $A D ： A C = A E ： A B$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，四边形 $D E G F$ 是平行四边形，点 $F$ 、 $G$ 在边 $B C$ 上， $A N ∥ D F$ 交 $B C$ 于点 $N$ ．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：① $\frac{B F}{B N} + \frac{N G}{C N} = 1$ ；② $\frac{D E}{B C} + \frac{D F}{A N} = 1$ ．那么下列说法中，正确的是（　　）

A、①正确②错误 B、①错误②正确 C、①、②皆正确 D、①、②皆错误

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二、填空题

7. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$ ，那么 $\frac{y - x}{y} =$ ．

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8. 已知点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A P > B P$ ），若 $A P = 6$ ，则 $B P =$

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9. 已知向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 方向相反，且 $| \vec{a} | = 5$ ，那么 $\vec{a} =$ $($ 用向量 $\vec{e}$ 的式子表示 $)$ ．

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10. 如果两个相似三角形对应边之比是 $2 ： 3$ ，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是．

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11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 26$ ， $t a n A = \frac{5}{12}$ ，那么 $B C =$ ．

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12. 如图，已知 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ， $A C = 6$ ， $D F = 8$ ， $A B = 2$ ，那么 $E F =$ ．

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13. 如图，是洞孔成像原理的示意图，物体 $A B$ 平行物像 $C D$ ，根据图中标注的尺寸，如果物体 $A B$ 长 $8 c m$ ，那么物像 $C D$ 的长度是 $c m$ ．

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14. 已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作 $D E ∥ B C$ ，分别交边 $A B$ 、 $A C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，那么 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{四边形 D B C E}}$ 的值是．

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15. 已知在 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 50 °$ ， $∠ E = 90 °$ ，且 $\frac{A B}{A C} = \frac{F E}{F D}$ ，那么 $∠ B =$ 度．

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16. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $A C = A D = 3 B D$ ， $∠ D C B = ∠ A$ ，那么 $c o s ∠ A C D$ 的值是．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $B C = \sqrt{10}$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上的一点，线段 $A D$ 将 $△ A B C$ 分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段 $A D$ 的长是．

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18. 如图，已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 4$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一点，将 $△ B C D$ 沿着 $B D$ 翻折，点 $C$ 落在点 $E$ 处，连接 $A E$ ，如果 $A E ∥ B D$ ，设 $D E$ 与边 $A B$ 交于点 $F$ ，那么 $\frac{A F}{B F}$ 的值是．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{2 c o s^{2} 45 °}{2 s i n 60 ° - c o t 45 °} - \frac{3}{2} t a n 30 °$ ．

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20. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $C D$ 的中点， $B E$ 和 $A C$ 交于点 $F$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{B F}$ ，即 $\vec{B F} =$ ；

(2)、在图中分别作出向量 $\vec{A F}$ 在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点， $D E$ 分别交 $B A$ 延长线、边 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ， $A H ∥ B C$ ，交 $D E$ 于点 $H$ ， $E H \cdot F D = H F \cdot E D$ ，求证： $C D = B D$ ．

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22. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，求 $∠ D B C$ 的正弦值．

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $E B$ 平分 $∠ D E C$ ．

(1)、求证： $\frac{A E}{E D} = \frac{A B}{B D}$ ；

(2)、如果 $\frac{B E^{2}}{B C^{2}} = \frac{A E}{A C}$ ，求证： $△ A B E ∽ △ A C B$ ．

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24. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是边 $B C$ 上的一点，连接 $A P$ ， ${S_{△ A B P}}^{2} = S_{△ A C P} \cdot S_{△ A B C}$

(1)、求证： $B P^{2} = C P \cdot B C$ ；

(2)、过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ， $B D = 4 D C$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上， $S_{△ B D E} = S_{△ A B P}$ ，求 $\frac{B E}{A B}$ 的值．

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25. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ C = 30 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 在边 $B C$ 上（点 $E$ 在点 $D$ 右侧，点 $D$ 不与点 $B$ 重合）， $∠ D A E = ∠ C$ ，过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、当 $A F ⊥ B C$ 时，求线段 $C E$ 的长；

(2)、设 $C E = x$ ， $B F = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(3)、连接 $C F$ ，如果 $△ C D F$ 与 $△ A B D$ 相似，求 $B F$ 的长．

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