人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——第十五章综合测试

试卷更新日期：2023-12-13 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 分式 $\frac{x + 1}{x^{2} - x} ， \frac{2}{x^{2} - 1} ， - \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的最简公分母是（）

A、 $(x^{2} - x) (x + 1)$ B、 $(x^{2} - 1) (x + 1)^{2}$ C、 $x (x - 1) (x + 1)^{2}$ D、 $x (x + 1)^{2}$

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2. 分式 $\frac{4 y + 3 x}{4 a}$ ， $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ ， $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x - y}$ ， $\frac{a^{2} + 2 a b}{a b + 2 b^{2}}$ 中，最简分式有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件，在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了x个零件，则可列方程为（　　）

A、 $\frac{300}{x} = \frac{100}{40 - x}$ B、 $\frac{300}{40 - x} = \frac{100}{x}$ C、 $\frac{300}{x} = \frac{100}{x - 40}$ D、 $\frac{300}{x - 40} = \frac{100}{x}$

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4. 若关于x的分式方程 $\frac{6}{x - 1} = \frac{x + 3}{x (x - 1)} - \frac{k}{x}$ 无解，则k的取值是（）

A、 $k = - 3$ B、 $k = - 3$ 或 $k = - 5$ C、 $k = 1$ D、 $k = 1$ 或 $k = - 5$

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5. 若 $\frac{1}{y^{3}} \div M = \frac{x^{2} - x y}{x y^{5}}$ ，则M为（）

A、 $\frac{y^{2}}{y - x}$ B、 $\frac{y^{2}}{x - y}$ C、 $\frac{x - y}{y^{8}}$ D、 $\frac{x - y}{y^{15}}$

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6. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + m}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 无解，则 $m$ 的值为（）

A、－6 B、－10 C、0或－6 D、－6或－10

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7. 若实数 $m$ ， $n$ 满足 $2 m - 3 n = 0$ ，且 $m n \neq 0$ ，则 $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ 的值为（）

A、 $- \frac{13}{6}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{13}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 2}{3} \geq x + 1 \\ x + 1 < m \end{array}$ 的解集为 $x \leq - \frac{5}{2}$ ，且关于y的分式方程 $\frac{2 m}{y - 2} + 2 = \frac{y - 4}{2 - y}$ 的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 若关于x的方程 $\frac{2 m + x}{x - 3}$ -1＝ $\frac{2}{x}$ 无解，则m的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ 或 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$ 或 $- \frac{3}{2}$

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10. 冬修水利正当时，“通经活络”惠民生.广元市双峡湖水库灌区工程现已进入全面建设阶段，预计明年6月底全部完工.为了按时完工，施工队抢抓施工黄金时间节点，并增加了人力进行管道铺设.已知增加人力后平均每小时比原计划多铺设10m，现在铺设120m所需时间与原计划铺设90m所需时间相同.设增加人力后平均每小时铺设xm，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{120}{x + 10}$ ＝ $\frac{90}{x}$ B、 $\frac{120}{x - 10}$ ＝ $\frac{90}{x}$ C、 $\frac{120}{x}$ ＝ $\frac{90}{x + 10}$ D、 $\frac{120}{x}$ ＝ $\frac{90}{x - 10}$

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二、填空题

11. 当x分别取-2019、-2018、-2017、．．．、-3、-2、-1、0、1、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、．．．、 $\frac{1}{2017}$ 、 $\frac{1}{2018}$ 、 $\frac{1}{2019}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于

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12. 对于代数式 $m$ ， $n$ ，定义运算“ $※$ ”： $m ※ n = \frac{m + n - 6}{mn} (mn \neq 0)$ ，例如： $4 ※ 2 = \frac{4 + 2 - 6}{4 \times 2} .$ 若 $(x - 1) ※ (x + 2) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ ，则 $2 A - B =$ ．

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13. 已知 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ ，则 $\frac{2 x - x y + 2 y}{x - 2 x y + y}$ ＝.

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14. 分式 $\frac{(m + 1) (m - 2)}{m^{2} - 3 m + 2}$ 的值为0，则m= ．

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15. 设实a，b，c满足： $a + b + c = 3 ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2 - c} + \frac{b^{2} + c^{2}}{2 - a} + \frac{c^{2} + a^{2}}{2 - b}$ = ．

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三、计算题

16. 先化简，再求值：
$(\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4} - \frac{3}{x - 2}) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 4}$ ，并从 $3$ ， $2$ ， $1$ ， $0$ 这四个数中取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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17. 解下列分式方程

(1)、 $\frac{2}{x - 2} = \frac{1 + x}{x - 2} + 1$ ；

(2)、 $\frac{2 x + 9}{3 x - 9} - \frac{4 x - 7}{x - 3} = 2$ ．

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18. 若 $\sqrt{3 - x y} + (1 - y)^{2} = 0$ ．

(1)、求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{x y} + \frac{1}{(x + 2) (y + 2)} + \frac{1}{(x + 4) (y + 4)} + \dots + \frac{1}{(x + 2022) (y + 2022)}$ 的值．

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四、解答题

19. 已知： $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = a b$ ，且 $a \neq b$ .

(1)、求证： $a + b = a b$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2}}{2 a - 2 b} - \frac{a^{2}}{2 a + 2 b} - \frac{a b^{2} + a^{2} b}{2 a^{2} - 2 b^{2}}$ 的值.

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20.
近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势 $.$ 某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 $288$ 辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段时间后，调研部门发现： $2$ 名熟练工和 $1$ 名新工人每月可安装 $10$ 辆电动汽车； $1$ 名熟练工和 $3$ 名新工人每月也可安装 $10$ 辆电动汽车．

(1)、求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量．

(2)、从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少 $0.6$ 元 $.$ 当两款车的行驶费用均为 $200$ 元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 $4$ 倍．
$①$ 求这款电动汽车平均每千米的行驶费用；
$②$ 若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为 $6400$ 元和 $4000$ 元 $.$ 问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？ $($ 年费用 $=$ 年行驶费用 $+$ 年其他费用 $)$

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21. 先化简，再求值：
$(\frac{m + 1}{m - 1} + 1) \div \frac{m + m^{2}}{m^{2} - 2 m + 1} - \frac{2 - 2 m}{m^{2} - 1}$ ，其中 $m$ 满足 $- 2 \leq m \leq 2$ ，取一个整数即可.

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22. 已知 $x^{2} - 10 x + 25$ 与 $| y - 3 |$ 互为相反数，求 ${(\frac{y^{2}}{x - y})}^{2} \cdot \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{y^{3}} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$ 的值.

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23. 阅读材料：
将分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

解：由分母为 $x + 3$ ，可设 $x^{2} + 2 x - 5 = (x + 3) (x + a) + b$ （b为整数），

则 $x^{2} + 2 x - 5 = (x + 3) (x + a) + b = x^{2} + a x + 3 x + 3 a + b = x^{2} + (a + 3) x + (3 a + b)$ .

$∵$ 对于任意x，上述等式均成立， $∴ {\begin{array}{l} a + 3 = 2, \\ 3 a + b = - 5, \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} a = - 1, \\ b = - 2, \end{array}$

$∴ \frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3} = \frac{(x + 3) (x - 1) - 2}{x + 3} = \frac{(x + 3) (x - 1)}{x + 3} - \frac{2}{x + 3} = x - 1 - \frac{2}{x + 3}$ .

这样，分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

解决问题：将分式 $\frac{x^{2} + 3 x + 6}{x - 1}, \frac{- 2 x^{4} - x^{2} + 5}{- x^{2} + 1}$ 分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

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