人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.4最短路径问题

试卷更新日期：2023-12-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是（　　）

A、12 B、6 C、7 D、8

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2. 如图所示，∠AOB=α，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（）

A、90°+α B、90°+ $\frac{1}{2}$ α C、180°-α D、180°-2α

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3. 如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{2}{3} b$ B、 $\frac{1}{2} a + b$ C、a+ $\frac{1}{2}$ b D、 $\frac{3}{2}$ a

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4. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 中点，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 上的点， $B P = A Q = 3$ ， $Q D = 2$ ，在 $B D$ 上有一动点 $E$ ，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A、7 B、8 C、9 D、10

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6. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）

A、80° B、90° C、100° D、130°

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7. 如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= $α$ ，∠PQN= $β$ ，当MP+PQ+QN最小时，则 $β - α$ 的值为（）

A、10° B、20° C、40° D、60°

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8. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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9. 如图， $△$ ABC≌ $△$ AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（）

A、4 B、8 C、10 D、16

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10. 已知M（3，2），N（1，－1），点P在y轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（0，0） C、（0， $\frac{11}{6}$ ） D、（0， $- \frac{1}{4}$ ）

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二、填空题

11. 如图，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A C = 6$ ， $S_{△ A B C} = 24$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $P$ 、 $Q$ 分别是 $C D$ 、 $B C$ 上的动点，则 $B P + P Q$ 的最小值是．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 .

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13. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为．

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14. 如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，以BC为边在BC的右侧作等边 $△ B C D$ ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP ， BP ．当 $A P + B P$ 的值最小时， $∠ C B P$ 的度数为．

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三、作图题

16. 如图，已知△ABC的顶点分别为A （-2，2），B （-4，5），C（-5，1）．
⑴作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁ ，并写出点B₁的坐标；
⑵若点P（a，b）是△ABC内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是
⑶在x轴上找一点P，使得AP+CP最小（画出图形，找到点P的位置）．

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17. 如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示）

(1)、如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ，B的距离之和最短？

(2)、如图②，若牛奶售卖点D向小区A，C提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？

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四、解答题

18. 如图，等边 $Δ A B C$ 的边长为 $4$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $F$ 是 $A D$ 边上的动点， $E$ 是 $A C$ 边上一点，若 $A E = 2$ ，当 $E F + C F$ 取得最小值时，则 $∠ E C F$ 的度数为多少？

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五、综合题

19. 如图，在 $△ ABC$ 中，已知 $AB = AC$ ， $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，点 $E$ 是 $AB$ 边上一动点，点 $P$ 是 $AD$ 上的一个动点．

(1)、若 $∠ BAD = 37 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

(2)、若 $BC = 6$ ， $AD = 4$ ， $AB = 5$ ，且 $CE ⊥ AB$ 时，求 $CE$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，请直接写出 $BP + EP$ 的最小值．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (6 ， 0)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 与 $△ A B C$ 关于y轴对称，画出 $△ A B C$ ；

(2)、若在直线l上存在点P，使 $△ A B P$ 的周长最小，则点P的坐标为．

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21. 已知：如图， $△$ ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝ $\frac{1}{3}$ ∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．

(1)、直接写出图中除 $△$ ABC外的所有等腰三角形；

(2)、求证：BD＝ $\frac{1}{2}$ PC；

(3)、点H、G分别为AC、BC边上的动点，当 $△$ DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．

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22. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.

(1)、求证：∠BAD＝∠EBG；

(2)、求证：AD＝DG＋EG；

(3)、点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.

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23. 如图

(1)、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PBPC（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“=”）；

(2)、探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}} = \frac{AB}{AC}$ ，请帮小明说明原因.

(3)、应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？

②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？

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