人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.3等腰三角形

试卷更新日期：2023-12-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图所示，已知 $∠ A O B = 60 °$ ，点 $P$ 在边 $O A$ 上， $O P = 12$ ，点 $M$ ， $N$ 在边 $O B$ 上， $P M = P N$ ，若 $M N = 1$ ，则 $O M$ 的长为（）

A、4 B、 $4.5$ C、5 D、 $5.5$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $M$ 和 $N$ ，再分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点 $D$ ，则下列说法中正确的个数是（）

      $①$ 若 $C D = 3 c m$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离为 $3 c m$ ；

      $② D B = 2 C D$ ；

      $③$ 点 $D$ 在 $A B$ 的中垂线上；

      $④$ 若 $S_{△ A C D} = 4$ ，则 $S_{△ A B C} = 12$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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3. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是等边三角形，点D，E，F分别在边 $A B ， B C ， A C$ 上，若 $△ A B C$ 的周长为15， $A F = 2$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列四个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°，其中正确的结论有（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、①②③④

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5. 下列命题中，是真命题的有（）．
①全等三角形的对应边相等；②有两个角为 $60 °$ 的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作 $P E ⊥ A C$ 于点E，Q为BC延长线上一点，当 $A P = C Q$ 时，PQ交AC于点D，则DE的长为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、不能确定

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7. 如图，在△ABC中，∠BAC =130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（）

A、65° B、60° C、70° D、80°

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8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（）

A、7cm B、12cm C、14cm D、16cm

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9. 下列命题中，假命题的是（）

A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B、面积相等的两个三角形全等 C、等腰三角形的顶角平分线垂直于底边 D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

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10. 如图，DE=11，FG=3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．
则BD+CE=（）

A、3 B、11 C、7 D、8

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二、填空题

11. 如图在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， D是 $A B$ 上一点，且 $C D = A D$ ， F是 $B C$ 延长线上一点， $C F = \frac{1}{2} D C$ ， $∠ D C F = 120 °$ ，连接 $D F$ 交 $A C$ 于E，若 $A E = 24$ ，则线段 $C E$ 的长为．

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12. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ A B D$ 是等腰直角三角形， $∠ B A D = 90 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ 分别交 $A E$ ， $A B$ 于点 $F$ ， $G$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ C D$ 分别交 $C D$ ， $B D$ 于点 $P$ ， $H$ ，则下列结论正确的是．
① $∠ B A C = 4 ∠ A D C$ ；② $D F = A H$ ；③ $B H = E F$ ；④ $∠ D A P = ∠ C G B$

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为．

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14. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为cm．

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15. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，点 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} \cdot \cdot \cdot$ 在射线ON上，点 $B_{1} 、 B_{2} 、 B_{3} \cdot \cdot \cdot$ 在射线OM上， $△ A_{1} B_{1} A_{2} 、 △ A_{2} B_{2} A_{3} 、 △ A_{3} B_{3} A_{4} \cdot \cdot \cdot$ 均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为 $a_{1}$ ，第2个等边三角形的边长记为 $a_{2}$ ，以此类推.若 $O A_{1} = 1$ ，则 $a_{2023} =$ .

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三、解答题

16. 如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．

(1)、求证：BP∥DE；

(2)、求∠BAE的度数；

(3)、若BP⊥AC，则∠AED=度．

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17. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E ， CF⊥AD于点F ， AE、CF相交于点G ， ∠CAE＝15°．

(1)、求∠ACF的度数；

(2)、求证： $D F = \frac{1}{2} A G$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $A B$ 边上一点， $D F ⊥ B C$ 于F ，延长 $F D 、 C A$ 交于E ．若 $∠ E = 30 ° ， A D = A E$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 为等边三角形；

(2)、若D是 $A B$ 的中点，求 $\frac{D E}{D F}$ 的值．

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19. 如图，已知A（0，-6），B （6，0），D为第一象限内一点，AD交x轴于点C，DE⊥x轴于点E，BF⊥AD垂足为点H，交OD于点F，线段AC上有一动点G，连接OG．

(1)、若AC=CD=DB，
①请说明△ACO≌△DCE；
②请求出点C的坐标；

(2)、若∠DOG=90°，试探究AD，DG，BF之间的数量关系，说明理由；

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20. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点E在 $A B$ 上，点D在 $C B$ 的延长线上，且 $A E = B D$ ．

(1)、当点E为 $A B$ 的中点时，如图1，求证： $E C = E D$ ；

(2)、当点E不是 $A B$ 的中点时，如图2， $E C$ 与 $E D$ 还相等吗？请说明理由．

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21. 如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.

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22. 如图，点A，B分别在两互相垂直的直线 $O M$ ， $O N$ 上．

(1)、如图1，在三角形尺子 $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ 如果点C到直线 $O M$ 的距离是5，求 $O B$ 的长；

(2)、如图2，若 $O A = 6$ ，点B在射线 $O M$ 上运动时，分别以 $O B$ ， $A B$ 为边作与图1中 $△ A B C$ 相同形状的 $R t △ O B F$ ， $R t △ A B E$ ， $∠ A B E = ∠ O B F = 90 °$ ，连接 $E F$ 交射线 $O M$ 于点P．
①当 $∠ E A O = 75 °$ 时， $∠ E A B = 45 °$ ，求 $∠ E B P$ 的大小；
②当点B在射线 $O M$ 上移动时， $P B$ 的长度是否发生改变？若不变，求出 $P B$ 的值；若变化，求 $P B$ 的取值范围．

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23. 已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．

(1)、如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；

(2)、如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

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