【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略14 相似三角形的应用

试卷更新日期：2023-12-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（）

A、25m B、26.5m C、50m D、51.5m

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2. 国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图所示为我市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏脚着地时捣头点E距离地面0.8米，则捣头点E着地时，踏脚点D距离地面（）

A、0.4 米 B、0.48米 C、0.5 米 D、0.8米

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4. 如图，树 $A B$ 在路灯 $O$ 的照射下形成投影 $A C$ ，若树离 $A B = 2 m$ ，树影 $A C = 3 m$ ，树与路灯的水平距离 $A P = 4.5 m$ ，则路灯的高度 $O P$ 是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 如图，小李身高 $A B = 1.6 m$ ，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上.小李离路灯的距离 $A P = 6.6 m$ ，落在地面上影长 $A C = 0.9 m$ ，留在墙上的影高 $C D = 1 m$ ，则路灯 $O P$ 高为（）

A、5m B、6m C、7.5m D、8m

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6. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点 $A$ ，镜子 $O$ ，树底 $B$ 三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米， $O A = 2.4$ 米， $O B = 6$ 米，则树高为（）米

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 如图1，是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 $A B$ 的宽度为（）
图1 图2

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $3 c m$ D、 $4 c m$

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8. 圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(如图)．已知桌面的直径为1.2m．桌面距离地面0.9m，灯泡距离地面2.7m，则地面上阴影部分的面积为（）．

A、0.36πm² B、0.81πm² C、2πm² D、3.24πm²

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9.
如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= $\sqrt{2}$ ．
其中正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 有一块锐角三角形余料 $△ A B C$ ，边 $B C$ 的长为 $20 c m$ ， $B C$ 边上的高为 $16 c m$ ，现要把它分割成若干个邻边长分别为 $5 c m$ 和 $4 c m$ 的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为 $5 c m$ 的边在 $B C$ 上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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二、填空题

11. 为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为米.

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12. 如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为m．

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13. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=cm．

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14. 如图， $△ A B C$ 中边 $B C = 10$ ，高 $A D = 8$ ，正方形 $E F N M$ 的四个顶点分别为 $△ A B C$ 三边上的点（点 $E$ ， $F$ 为 $B C$ 上的点，点 $N$ 为 $A C$ 上的点，点 $M$ 为 $A B$ 上的点），则正方形 $E F N M$ 的边长为.

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15. 如图，正方形 $D E F G$ 的边 $E F$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点D、G分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，如果 $B C = 12$ ， $△ A B C$ 的面积是36，那么 $D G$ 的长为．

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16. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．

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三、解答题

17. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面AB的长为1.6m ，标杆FC的长为3.2m ，且BC的长为2m ， CD的长为5m ，求电视塔的高ED ．

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18. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD= $\frac{1}{2}$ AC，连结BC并延长到点E，使CE= $\frac{1}{2}$ BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．

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19. 如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离.

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20. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度是多少m？

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21. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 $O A$ ， $O B$ ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 $C D$ ，测得 $M C = 8.5 m$ ， $C D = 13 m$ ，设光线与地面夹角为α，测得 $t a n α = \frac{2}{3} ．$

(1)、求点O，M之间的距离.

(2)、转动时，求叶片外端离地面的最大高度.

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22. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 线段上的点，且满足 $\frac{C D}{C B} = \frac{C E}{C A} = \frac{2}{3}$ ，连接 $D E$ ，将 $△ C D E$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、①当 $α = 0 °$ ，时 $\frac{A E}{B D} =$ ；
②当 $α = 90 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ．

(2)、如图 $2$ ，当 $0 ° < α < 90 °$ 时，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，过 $E$ 作 $E N ⊥ A C$ 于点 $N$ ，求出 $\frac{D M}{E N}$ 的值；

(3)、当 $0 ° < α < 360 °$ 时，若 $O$ 为 $D E$ 的中点，求在旋转过程中，线段 $O B$ 长的最大值和最小值．

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23. 定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形.例如：如图1，分别延长多边形A₁A₂…A_n的边得A₁′，A₂′，…，A_n′，若多边形A₁′A₂′…A_n′与多边形A₁A₂…An相似，则多边形A₁′A₂′…A_n′就是A₁A₂…A_n的螺旋相似图形.

(1)、如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明.

(2)、如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由.

(3)、如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形.若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）

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