【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略11 比例线段

试卷更新日期：2023-12-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知x：y=5：2，则下列各式不正确的是（）

A、 $\frac{x + y}{y} = \frac{7}{2}$ B、 $\frac{x - y}{y} = \frac{3}{2}$ C、 $\frac{x}{x + y} = \frac{5}{7}$ D、 $\frac{x}{y - x} = \frac{5}{3}$

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2. 已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ B、 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$

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3. 下列四条线段中，不能成比例的是（）

A、a=2，b=3，c=4，d=6 B、a=1，b= $\sqrt{2}$ ， c= $\sqrt{3}$ ， d= $\sqrt{6}$ C、a=4，b=5，c=6，d=10 D、a=1，b=2，c= $\sqrt{5}$ ， d=2 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a - b}{a + b}$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、-5 D、5

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5. 在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为 $1.5 m$ .某一时刻他在地面上的影长为 $2 m$ ，同一时刻位于该处的一座古塔在地面上的影长为 $40 m$ ，则古塔的高为（）.

A、 $60 m$ B、 $40 m$ C、 $30 m$ D、 $25 m$

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6. 如图所示，已知 $C$ 是线段AB的黄金分割点 $(A C > B C)$ ，则下列结论中，正确的是（）.

A、 $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ B、 $B C^{2} = A C \cdot B A$ C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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7. 在一幅比例尺为1：1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（）

A、55米 B、10千米 C、55千米

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8. 已知a，b，c为非零实数，且满足 $\frac{b + c}{a} = \frac{a + b}{c} = \frac{a + c}{b} = k$ ，则一次函数 $y = k x + 1 + k$ 的图象一定经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 下列命题中，正确的是（）

A、相似三角形的角平分线的比等于相似比 B、所有的菱形都相似 C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个 D、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边

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10. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S₁ ，矩形BCIH的面积为S₂ ，则S₁ 与S₂的大小关系是（）

A、 B、 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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二、填空题

11. 已知 $\frac{a}{a + 2 b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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12. 一张浙江省地图的比例尺为1：4000000，杭州到嘉兴的图上距离约是2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 上的点， $A B = 12 c m$ ， $A E = 6 c m$ ， $E C = 4 c m$ ，且 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ，则 $A D =$ ．

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14. 已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项线段长是．

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15. 已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AB＝2，则AC＝．

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16. 在芯片制作过程中，需要对 $A B = 2 cm ， A D = 3 cm$ 的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“ $M_{0} + N_{1}$ ” 的形式，其中 $M_{0}$ 为竖式矩形 $(\frac{A B}{A E} = \sqrt{2}) ， N_{1}$ 为横式矩形 $(\frac{E G}{E F} = \sqrt{2})$ ，则芯片被利用区域的长 $A G$ 的值为 cm .

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三、解答题

17. 已知线段c是线段a，b的比例中项，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 8 \sqrt{2}$ ，求线段c的长.

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18. 已知，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} ，$ $2 c - b = 12$ ，求△ABC的面积.

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19.
小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC²=AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取 $\sqrt{2}$ =1.4， $\sqrt{3}$ =1.7， $\sqrt{5}$ =2.2）

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20. 如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

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21. 我们把长与宽之比为 $\sqrt{2}$ 的矩形纸片称为标准纸．如图，将一张标准纸ABCD(AB<BC)对折，得到矩形纸片EFGH．判断图中两个矩形的长与宽是否成比例，并说明理由．

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22. 在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm和15cm．

(1)、求它们的面积比；

(2)、若在地图上量得甲的面积为16cm² ，则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？

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23. 如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ ，那么称 $C$ 为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线 $l$ 将一个面积为 $S$ 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，如果 $\frac{S_{1}}{S} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$ ，那么称直线 $l$ 为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：

(1)、研究小组猜想：在 $△ A B C$ 中，若 $D$ 为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是 $△ A B C$ 的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗?为什么?

(2)、三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线”?请说明理由.

(3)、研究小组在进一步探究中发现：过点 $C$ 任作一条直线交AB于点 $E$ ，再过点 $D$ 作直线 $D F / / C E$ ，交AC于点 $F$ ，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是 $△ A B C$ 的“黄金分割线”.请说明理由.

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