人教版（吉林地区）初中数学2023-2024学年九年级上学期期末模拟卷（一）

试卷更新日期：2023-12-12 类型：期末考试

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一、选择题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则此直角三角形斜边长是（）

A、13 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{13}$

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3. 如图，在△ABC纸片中，∠CAB=75°，将其绕点A逆时针旋转到△AB'C的位置，连接CC，CC'∥AB，则旋转的最小角度为（）

A、30° B、35° C、40° D、50°

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4. 暗箱中有大小质量都相同的红色，黑色小球若干个，随机摸出红球的概率是 $0.6$ ，已知黑色小球有 $12$ 个，则红球的数量为（）

A、 $30$ B、 $20$ C、 $18$ D、 $10$

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5. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x ，根据题意可列方程（）

A、x（x+1）＝4×7 B、x（x-1）＝4×7 C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 4 \times 7$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 4 \times 7$

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6. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是（　　）

A、12寸 B、24寸 C、13寸 D、26寸

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7. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 2$ 在 $a \leq x \leq a + 2$ 时，函数有最大值1，则a的值是（）

A、 $a = \pm 1$ B、 $a = \pm 3$ C、 $a = - 3$ 或 $a = 1$ D、 $a = 3$ 或 $a = - 1$

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8. 抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），直线y＝kx+m经过点（-1，0），直线y＝kx+m与抛物线y＝ax²+bx+c另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线x＝1；②a-b+c＝0；③-1＜x＜3时，ax²+bx+c＜0；④若a＝ $\frac{1}{2}$ ，则k＝ $\frac{1}{2}$ ．
其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 已知关于x方程 $x^{2} + 3 x - a = 0$ 有一个根为－1，则方程的另一个根为．

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10. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降1m，那么水面宽度增加m．

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11. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=50°，则∠EFC=度．

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12. 如图，甲、乙、丙 $3$ 人站在 $5 \times 5$ 网格中的三个格子中，小王随机站在剩下的空格中，与图中 $3$ 人均不在同一行或同一列的概率是．

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13. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m ，高度CD为 m．

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14. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D B}$ ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= $\frac{1}{2}$ ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是．

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三、计算题

15. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 4 = 0$ （配方法）；

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 x - 4$ ．

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四、解答题

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (4 ， 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点O成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点B的对应点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、画出将 $△ A B C$ 绕点 $Q (0 ， - 1)$ 逆时针旋转90°后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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17. 小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．

(1)、请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；

(2)、哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．

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18. 已知二次函数y=(x-m)²-(x -m)．

(1)、试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点．

(2)、若该二次函数图象的顶点坐标为( $\frac{5}{2}$ ， n)，求m，n的值．

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19. 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体 $.$ 若两人同时从 $A$ 地出发，匀速跑向距离 $12000 m$ 处的 $B$ 地，小明的跑步速度是小红跑步速度的 $1.2$ 倍，那么小明比小红早 $5$ 分钟到达 $B$ 地．

(1)、求小明、小红的跑步速度；

(2)、若从 $A$ 地到达 $B$ 地后，小明以跑步形式继续前进到 $C$ 地 $($ 整个过程不休息 $)$ ，据了解，在他从跑步开始前 $30$ 分钟内，平均每分钟消耗热量 $10$ 卡路里，超过 $30$ 分钟后，每多跑步 $1$ 分钟，平均每分钟消耗的热量就增加 $1$ 卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗 $2300$ 卡路里的热量，小明从 $A$ 地到 $C$ 地锻炼共用多少分钟．

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20. 如图，在△ABC中，∠B=20°，∠ACB= =30°，AB=2 cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．

(1)、指出旋转中心，并求出旋转的度数；

(2)、求出∠BAE的度数和AE的长．

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21. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM.

(1)、证明：△DEF≌△DMF.

(2)、若 $A E = 1$ ，求FM的长.

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $B D$ ， $∠ B A D = 105 °$ ， $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{D C}$ ．

(1)、求 $∠ B D C$ 的大小；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为3，求 $B C$ 的长．

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五、实践探究题

23. 阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）
证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．

知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．

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24. 【创新是民族进步的灵魂 $！$ 华为一直在科技领域追求极致美学、极致工艺、极致创新 $.$ 真正意义上做到遥遥领先 $！$ 】我们不妨约定：若 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 是关于 $x$ 的函数，当 $m \leq x \leq n$ 时，总有 $y_{1} - y_{2} \geq K (K > 0)$ ，并存在 $x_{0}$ 满足 $m \leq x_{0} \leq n$ ，使得 $y_{1} - y_{2} = K$ ，我们则称函数 $y_{1}$ 对 $y_{2}$ 在 $[m ， n]$ 领域“ $K$ 阶领先”．

(1)、已知一次函数 $y_{1} = - 4 x + 5$ 对 $y_{2} = 2 x - 10$ 在 $[- 2 ， 1]$ 领域“ $K$ 阶领先”，求 $K$ 的值；

(2)、已知二次函数 $y_{1} = x^{2} + 2 (t + 2) x + t^{2} (t$ 为常数 $)$ 的图象与一次函数 $y_{2} = x$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，其横坐标分别记为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，请判断二次函数 $y_{1}$ 对一次函数 $y_{2}$ 能否在 $[t ， t + 1]$ 领域“ $t - 2$ 阶领先”，请说明理由；

(3)、已知二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 的顶点经过一次函数 $y = - 4 x - 1$ 的图象，若二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 对一次函数 $y_{2} = - 4 x + 2$ 在 $[2 ， 3]$ 领域“ $2$ 阶领先”，求二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 的解析式．

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