【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略10 弧长和扇形的面积

试卷更新日期：2023-12-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（）

A、 $\frac{5}{2} π$ B、 $\frac{5}{4} π$ C、 $\frac{15}{2} π$ D、 $\frac{15}{4} π$

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2. 已知一个扇形的面积是 $24 π$ ，弧长是 $2 π$ ，则这个扇形的半径为（）

A、24 B、22 C、12 D、6

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3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即 $\hat{A A'}$ 的长）为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、2π D、 $\frac{7}{3} π$

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4. 如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（）

A、6πm² B、3πm² C、2πm² D、πm²

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5. 如图是某款“不倒翁”的示意图， $P A$ ， $P B$ 分别与 $\overset{⌢}{A M B}$ 所在圆相切于点 $A$ ， $B$ ．若该圆半径是 $4 c m$ ， $∠ P = 60 °$ ，则 $\overset{⌢}{A M B}$ 的长是（）

A、 $\frac{4}{3} π c m$ B、 $\frac{8}{3} π c m$ C、 $\frac{16}{3} π c m$ D、 $\frac{32}{3} π c m$

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6. 如图，在正六边形ABCDEF中， $B C = 2$ ，点O在对角线AD上， $B O ⊥ O F$ ，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则 $\overset{⌢}{M N}$ 的长为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4} π$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6} π$

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7. 如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安装时向车轮外延伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（）

A、1141平方厘米 B、2281平方厘米 C、3752平方厘米 D、4000平方厘米

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8. 如图，已知 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 的弧长之差为 $4 π$ ， $∠ A O B = 12 0^{o}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $18$ B、 $12$ C、6 D、3

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9. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，半径 $O A = 3$ ，将扇形 $A O B$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，使点 $O$ 恰好落在 $A B$ 上的点 $D$ 处，折痕为 $B C$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{3 π - 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{9 π}{4} - 3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{π - 3}{4}$ D、 $\frac{3 π - 3}{4}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，以点 $D$ 为圆心作圆心角为 $9 0^{∘}$ 的扇形 $D E F$ ，点 $C$ 恰在弧 $E F$ 上，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{2} + \frac{1}{2}$ B、 $π - \frac{1}{4}$ C、 $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 若扇形的圆心角为 $150 °$ ，半径为 $\frac{6}{5}$ ，则它的弧长是．

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12. 已知圆弧的度数为 $150 °$ ，弧长为 $3 π c m$ ，则圆的半径是 $c m$ .

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13. 已知扇形的半径为 $4 c m$ ，弧长是 $4 π c m$ ，则扇形的面积是 $c m^{2}$ .

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14. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A＝30°，OC＝2，则图中的阴影部分的面积是．

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15. 把量角器和含 $30 °$ 角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点E， $O C = 2 cm$ ， $∠ B O F = 120 °$ ．则阴影部分的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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16. 如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB中， $\overset{⌢}{B C}$ ＝2 $\overset{⌢}{A C}$ ，点D是半径OB的中点，点P从点D出发，沿D→O→A的方向运动到A的过程中（包括D，A点），线段BP，CP与 $\overset{⌢}{B C}$ 所围成的区域（如图中阴影部分）面积的最小值为．

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三、解答题

17. 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．

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18. 已知：如图，C，D是以 $A B$ 为直径的半圆周的三等分点， $C D = 8 c m$ .求阴影部分的面积？

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19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 $\overset{⌢}{B D}$ ， $\overset{⌢}{A E}$ 的长．

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20. 为保护共享单车，图①是某工厂门口修建的存放自行车的车棚示意图（尺寸如图所示）．车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图②是车棚顶部截面的示意图，弧 AB 所在圆的圆心为 O．车棚顶部是用铝合金覆盖的，求所用铝合金的面积
（不考虑接缝等因素，计算结果保留 π）．

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21. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $D$ 为弧 $B C$ 的中点，作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D A$ ．

(1)、若 $A B = 90 c m$ ，则圆心 $O$ 到“杠杆 $E F$ ”的距离是多少？说明你的理由；

(2)、若 $D A = D F = 6 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积． $($ 结果保留 $π)$

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22. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， O$ 为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点 $D$ ，交AC边于点 $E$ .

(1)、求证： $B C = B D$ .

(2)、若 $O B = O A ， A E = 2$ .
①求半圆 $O$ 的半径.

②求图中阴影部分的面积.

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23. 项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理?

(1)、
【合作探究】

探究 $A$ 组：如图1，圆形车轮半径为 $4 cm$ ，其车轮轴心 $O$ 到地面的距离始终为 $cm$ ．
探究 $B$ 组：如图2，正方形车轮的轴心为 $O$ ，若正方形的边长为 $4 cm$ ，求车轮轴心 $O$ 最高点与最低点的高度差．
探究 $C$ 组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为 $4 cm$ ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 $90^{\circ}$ ，其车轮轴心为 $O$ ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 $O$ 经过的路程．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．

(2)、
【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 $A ， B ， C$ 为圆心，以正三角形的边长为半径作 $60^{\circ}$ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．

探究 $D$ 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 $O$ 并不稳定．

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