2023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.6 空间直线、平面的垂直同步练习

试卷更新日期：2023-12-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $l$ ， $m$ 表示两条不同的直线， $α$ 表示平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l / / m$ ， $m \subset α$ ，则 $l / / α$ B、若 $l / / α$ ， $m \subset α$ ，则 $l / / m$ C、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ m$

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2. 已知 $m ， n ， l$ 是不重合的三条直线， $α ， β ， γ$ 是不重合的三个平面，则（）

A、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ，则 $n / / α$ B、若 $l ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ， $α ∩ γ = l$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$

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3. 已知 $α$ ， $β$ 是平面， $m$ ， $n$ 是直线．下列命题中不正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m / / α$ ， $α \cap^{} β = n$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起成 $△ A_{1} B D$ ，折起过程中，当 $A_{1} B ⊥ C D$ 时，四面体 $A_{1} B C D$ 体积为（）

A、2 B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $\frac{9 \sqrt{7}}{2}$

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5. 在空间中， $l ， m$ 是不重合的直线， $α ， β$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l \subset α ， m \subset β ， α   β$ ，则 $l   m$ B、若 $l   m ， m \subset β$ ，则 $l   β$ C、若 $α ⊥ β ， α ∩ β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $l ⊥ α ， l   m ， α   β$ ，则 $m ⊥ β$

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6. 已知平面 $α 、 β$ ，直线 $l \subset α$ ，直线 $m$ 不在平面 $α$ 内，下列说法正确的是（）

A、若 $α ∥ β ， m ∥ β$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $α ∥ β ， m ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l ∥ m ， α ∥ β$ ，则 $m ∥ β$ D、若 $l ⊥ m ， m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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7. 已知空间中三个互不相同的平面 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ ，两条不同的直线a、b ，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ B、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a ∥ b$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $a∥α$ ， $α ∥ β$ ， $a ⊥ b$ ，则 $b ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ γ$

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8. 设 $α ， β ， γ$ 为平面， $m ， n$ 为直线，则 $m ⊥ β$ 的一个充分条件是

A、 $α ⊥ β ， α ∩ β = n ， m ⊥ n$ B、 $α ∩ γ = m ， α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ C、 $α ⊥ β ， β ⊥ γ ， m ⊥ α$ D、 $n ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ α$

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9. 点 $A$ 、 $B$ 在以 $P C$ 为直径的球 $O$ 的表面上，且 $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ，已知球 $O$ 的表面积是 $12 π$ ，下列说法中正确的个数是（）
① $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；②平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；③ $P B ⊥ A C$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 如图，已知棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在正方体的棱 $C B$ 、 $C C_{1}$ 、 $C D$ 上运动， $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，垂足为 $N$ ，则点 $N$ 形成图形中的各线段长度之和是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $m ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ， $m$ 与 $n$ 相交，则 $α / / β$

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12. 已知m，n是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A、若 $m$ ∥ $α$ ， $n$ ∥ $α$ ，则 $m$ ∥ $n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n$ ∥ $β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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13. 已知直线 $a$ ， $b$ ， $l$ 和平面 $α$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a ∥ b$ ， $a ⊄ α$ ， $b ⊄ α$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ C、若 $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ， $a \subset α$ ， $b \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b / / α$

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14. 如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = 2 ， A B = 4$ ，则 $A A_{1}$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）

A、若 $E \in B D_{1}$ ， $F \in B D$ ，则 $E F ⊥ A C$ B、若 $E \in B D_{1}$ ， $F \in B D$ ，则平面 $B E F ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、若 $E \in A C$ ， $F \in C D_{1}$ ，则 $E F ∥ A D_{1}$ D、若 $E \in A C$ ， $F \in C D_{1}$ ，则 $E F / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$

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二、多项选择题

16. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β ， m ⊥ β ， m ⊄ α$ ，则 $m ∥ α$ C、若 $α ⊥ β ， m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ∥ β ， n ∥ β ， m \subset α ， n \subset α$ ，则 $α ∥ β$

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17. 如图，以等腰直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，翻折 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ ，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ .下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A C$ B、 $△ A B C$ 是等边三角形 C、三棱锥 $D - A B C$ 是正三棱锥 D、平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$

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18. 在空间中，设 $m ， n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列正确的是（）

A、若 $m ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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19. 如图，棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $B_{1} B$ 的中点，则（）

A、直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、直线 $E F / /$ 平面 $A C_{1} D_{1}$ C、 $V_{C_{1} - A_{1} B D} = \frac{1}{3}$ D、过 $E$ ， $F$ ， $D_{1}$ 三点的平面截正方体的截面面积为 $\frac{9}{16}$

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20. 点 $A ， B$ 在以 $P C$ 为直径的球 $O$ 的表面上，且 $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ，已知球 $O$ 的表面积是 $12 π$ ，设直线 $P B$ 和 $A C$ 所成角的大小为 $α$ ，直线 $P B$ 和平面 $P A C$ 所成角的大小为 $β$ ，四面体 $P A B C$ 内切球半径为 $r$ ，下列说法中正确的个数是（）

A、 $B C ⊥$ 平面 $P A B$ B、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ C、 $r > \frac{1}{2}$ D、sinα=cos $β$

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三、填空题

21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有个.

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22. 已知 $l$ ， $m$ 是平面 $α$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① $l ⊥ m$ ；
② $m ∥ α$ ；
③ $l ⊥ α$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．

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23. 已知 $a$ ， $b$ 表示直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示平面．
①若 $α \cap β = a$ ， $b \subset α$ ， $a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$ ；

②若 $a \subset α$ ， $a$ 垂直于 $β$ 内任意一条直线，则 $α ⊥ β$ ；

③若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = a$ ， $α \cap γ = b$ ，则 $a ⊥ b$ ；

④若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a//b$ ，则 $α//β .$

上述命题中，正确命题的序号是.

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24. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等， $A C ∩ B D = O$ ， M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）

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25. 已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m ， n不重合，由下列条件：
①m⊥n ， m⊥β；②n⊂α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n⊂α；

能推得n∥β的条件是．

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四、解答题

26. 四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $E$ 为 $S D$ 的中点．

(1)、证明： $S B ∥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $S C ⊥ B D$ ．

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27. 如图，已知平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = A B$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $P B$ 的中点.

(1)、若点 $M$ 为线段 $A D$ 中点，求证： $P M / /$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求证： $A F ⊥$ 平面 $P B C$ .

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28. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为4的菱形， $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $P C = 4$ ，点M、N分别是AB、CD的中点．

(1)、求证： $C M ⊥$ 平面PAB；

(2)、求四面体PMND的体积．

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29. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是边长为2的正方形， $P A = A B$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD ，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD ， E为PD中点.

(1)、证明： $A E ⊥ P C$ ；

(2)、若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.

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30. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $P B = 2$ ， $P D ⊥ C D$ ， $P B ⊥ B D$ ， $N$ 为棱 $P C$ 的中点.

条件①： $B C = 2$ ；
条件②：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：

(1)、求证： $A B ⊥$ $P B$ ；

(2)、若点 $M$ 在线段 $A N$ 上，且点 $M$ 到平面 $B D N$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求线段 $C M$ 的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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31. 如图，四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁上的一点，AA₁⊥平面ABCD ， AB∥DC ， AB⊥AD ， AA₁＝AB＝2AD＝2DC.

(1)、若M是DD₁的中点，证明：平面AMB⊥平面A₁MB₁；

(2)、设四棱锥M-ABB₁A₁与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积分别为V₁与V₂ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

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32. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C ， P B ⊥ B C ， D$ 为 $B P$ 的中点， $P A = A B$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

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33. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $E$ 为 $S D$ 的中点.

(1)、证明： $S B$ $/ /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $S C ⊥ B D$ .

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34. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为矩形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P B$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $P B = B C = 2$ ，点 $Q$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A B Q ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - Q B D$ 的体积．

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35. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）

求证：

(1)、直线 $A C ∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、平面 $A_{1} B C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ．

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36. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ P A D = \frac{π}{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P C$ 上的点，平面 $A D F$ 与棱 $P B$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $E F / / A D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ F D$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，求证平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

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37. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）

求证：

(1)、直线 $A C ∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、平面 $A_{1} B C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ．

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38. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 A D$ ， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E ， F$ 分别为棱 $A B ， P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P D E ⊥$ 平面 $P E C$ .

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39. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 4$ ， $P A = 3$ 且 $∠ A D B = ∠ B A C = 30 °$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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