2023-2024学年高中数学A版（2019）高三（上）期末测试卷（高考模拟）

试卷更新日期：2023-12-12 类型：期末考试

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一、选择题（每题5分，共40分）

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x ∣ x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 设复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ =（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 已知 $a \neq 0$ ，下列各不等式恒成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} > 2$ B、 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ C、 $a + \frac{1}{a} \leq - 2$ D、 $| a + \frac{1}{a} | \geq 2$

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4. 已知 $\overset{\leftrightarrow}{a} ， \overset{\leftrightarrow}{b}$ 是单位向量，若 $\overset{\leftrightarrow}{a} ⊥ (\overset{\leftrightarrow}{a} + 3 \overset{\leftrightarrow}{b})$ ，则 $\overset{\leftrightarrow}{a}$ 在 $\overset{\leftrightarrow}{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{a}$ B、 $- \frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{a}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{b}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{b}$

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5. 如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为 $120 °$ ，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为 $90 π$ （扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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6. 已知曲线 $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 9$ 与曲线 $y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}$ 交于点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， A_{2} (x_{2} ， y_{2}) ， \cdot \cdot \cdot ， A_{n} (x_{n} ， y_{n})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、 $- 16$ B、 $- 12$ C、 $- 9$ D、 $- 6$

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7. 已知 $a = \frac{1}{11} ， b = l n 1.1 ， c = t a n 0.1$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < h$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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8. $(1 + 2 x) {(1 + x)}^{3}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. 命题“ $\forall 1 \leq x \leq 2$ ， $x^{2} - 2 a \leq 0$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \geq 3$ C、 $a \geq 4$ D、 $a \leq 4$

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10. 已知实数a ， b ， c满足 $e^{a - c} + b e^{c + 1} \leq a + l n b + 3$ （其中e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）

A、 $a = c$ B、 $a b \geq \frac{1}{e^{2}}$ C、 $a + b + 2 c$ 的最小值为 $- 3 l n 3$ D、 $b + c > 0$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M ， N$ 两个不同点，则下列结论正确的是（）

A、 $| M N |$ 的最小值是6 B、若点 $P (\frac{5}{2} ， 2)$ ，则 $| M F | + | M P |$ 的最小值是4 C、 $\frac{1}{| M F |} + \frac{1}{| N F |} = 3$ D、若 $| M F | \cdot | N F | = 18$ ，则直线 $M N$ 的斜率为 $\pm 1$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 4$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在棱 $A B$ 和 $B B_{1}$ 上运动（不含端点），若 $D_{1} M ⊥ M N$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $C_{1} - B_{1} D_{1} M$ 体积为定值 B、 $M N ⊥ 平面 A_{1} D_{1} M$ C、 $M N ⊥$ $N C$ D、线段 $D N$ 长度的最大值为 $\sqrt{33}$

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三、填空题（每题5分，共20分）

13. 已知 $s i n (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3} ， x \in (0 ， π)$ ，则 $s i n 2 x =$ ．

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14. 某地，第x年该地人均收入y的部分数据如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
年份编号x	1	2	3	4	5
年人均收入y（万元）	0.5	0.6	1	1.4	m

根据表中所数据，求得y与x的线性回归方程为： $\hat{y} = 0.32 x + 0.08$ ，则2019年该地区实际年人均收入为万元.

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15. 函数 $y = [x]$ 为数学家高斯创造的取整函数， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.90] = 0$ ， $[l g 99] = 1$ ，已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 3$ ，且 $a_{n} = n (a_{n + 1} - a_{n})$ ，若 $b_{n} = [l g a_{n}]$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前2023项和为.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，弦 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，若 $\frac{| P F |}{| A B |} = \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e =$ ．

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四、解答题（共6题，共70分）

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b c o s A + a c o s B = - 2 c c o s A$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、已知点 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 2$ ，求 $a$ 的最大值.

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18. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1$ ， $n S_{n + 1} = (n + 1) S_{n} + n^{2} + n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，并求 ${S_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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19. 为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”.学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
性别
饭堂就餐
合计
喜欢饭堂就餐
不喜欢饭堂就餐
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析学生喜欢饭堂就餐是否与性别有关.

(2)、该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小林同学星期五选择②号套餐的概率.

(3)、用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为 $ξ$ ，事件“ $ξ = k$ ”的概率为 $P (ξ = k)$ ，求使 $P (ξ = k)$ 取得最大值时 $k$ 的值.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20. 如图（1）所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = \sqrt{5}$ ，沿 $A D$ 将 $△ C D A$ 折起（如图（2）），点 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A C$ 、 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A D ⊥ E F$ ；

(2)、若二面角 $C - D A - B$ 所成角的正切值为 $2$ ，求二面角 $C - D F - E$ 所成角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值，并求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $l n^{2} 2 + l n^{2} \frac{3}{2} + ⋯ + l n^{2} \frac{n + 1}{n} < \frac{n}{n + 1}$ .

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22. 已知点 $(- 2 ， 0)$ 在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上，设点 $A ， B$ 为 $C$ 的短轴的上、下顶点，点 $T$ 是椭圆上任意一点，且 $T A ， T B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的两焦点 $F_{1} 、 F_{2}$ 作两条相互平行的直线 $l_{1} ， l_{2}$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 和 $P ， Q$ ，求四边形 $P Q N M$ 面积的取值范围．

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性别	饭堂就餐		合计
性别	喜欢饭堂就餐	不喜欢饭堂就餐	合计
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828