【北师大版】2023-2024学年数学九年级（上）期末仿真模拟试题（二）

试卷更新日期：2023-12-12 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列图形中，主视图为矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（）

A、3.2 B、3.4 C、3.6 D、4

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3. 如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了： $B H^{2} = C H \times G H$ .设 $A B = a$ ， $C H = b$ .若 $a b = 5$ ，则图中阴影部分的周长是（）

A、6 B、8 C、10 D、20

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4. 如图，把一块长为 $40 c m$ ，宽为 $30 c m$ 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 $600 c m^{2}$ ，设剪去小正方形的边长为 $x c m$ ，则所列方程正确的为（）

A、 $(30 - 2 x) (40 - 2 x) = 600$ B、 $(30 + 2 x) (40 + 2 x) = 600$ C、 $30 \times 40 - 2 \times 30 x - 2 \times 40 x = 600$ D、 $30 \times 40 + 2 \times 30 x + 2 \times 40 x = 600$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (1.5 ， 0)$ ， $D (4.5 ， 0)$ ， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，原点O是位似中心．若 $C (1 ， 3)$ ，则点F的坐标是（）

A、 $(2 ， 6)$ B、 $(2.5 ， 4.5)$ C、 $(3 ， 9)$ D、 $(4 ， 8)$

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6. 关于反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ ，下列说法不正确的是（）

A、函数图象分别位于第二、四象限 B、函数图象关于原点成中心对称 C、函数图象经过点（1，1） D、当x＞0时，y随x的增大而减小

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7. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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8. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333

A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D、抛一枚硬币，出现反面的概率

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9. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得 $∠ D = 60 °$ ，对角线 $B D$ 长为 $8 \sqrt{3} c m$ ，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为（）

A、 $8 c m$ B、 $8 \sqrt{2} c m$ C、 $8 \sqrt{3} c m$ D、 $16 c m$

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二、填空题（每题3分，共15分））

11. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=8，BD=3，则DF的值是．

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12. 如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为．

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13. 如图，△ABC的面积为40cm² ， DE＝2AE ， CD＝3BD ，则四边形BDEF的面积等于cm² ．

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14. 如图是小孔成像原理的示意图， $O A = 30 c m$ ， $O C = 10 c m$ ， $A B ∥ C D$ . 若物体 $A B$ 的高度为 $15 c m$ ，则像 $C D$ 的高度是 $c m$ .

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15. 如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 用公式法解方程：2x²－2x－1=0

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17. 解方程： $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ .

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18. 为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：

(1)、本次随机抽查的学生人数为 ▲ 人，补全图（Ⅰ）；

(2)、参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为度；

(3)、计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率

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19. 据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．

(1)、求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；

(2)、据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？

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20. 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：

(1)、已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；

(2)、如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；

(3)、无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．

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21. 矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A B}{B C} = \frac{k}{2} (k > 1)$ ，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图，当 $k = 2$ 时，求证： $A E = E F$ ；

(2)、【类比探究】如图，当 $k \neq 2$ 时，求 $\frac{A E}{E F}$ 的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图，当 $k = 3$ 时，P为边CD上一点，连接AP，PF， $∠ P A E = 45 °$ ， $P F = 2 \sqrt{5}$ ，则BC的长为．

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22. 如图

(1)、【探究发现】
如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长BE交DF于点G．
②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝ ▲ °．

(2)、【类比迁移】
如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；

(3)、【拓展应用】
如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝ $\sqrt{3}$ ， AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．

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实验次数	100	200	300	500	800	1000	2000
频率	0.365	0.328	0.330	0.334	0.336	0.332	0.333