【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略6 垂径定理

试卷更新日期：2023-12-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列说法中，正确的是（）

A、长度相等的弧是等弧 B、圆的每一条直径都是它的对称轴 C、直径如果平分弦就一定垂直弦 D、直径所对的弧是半圆

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2. 如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、4 C、5 D、6

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3. 如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（）

A、 $\sqrt{17}$ m B、 $\sqrt{5}$ m C、5m D、 $\frac{5}{2}$ m

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4. 如图，在 $⊙ O$ 中， $C D$ 是直径， $A B$ 是弦， $A B ⊥ C D$ 于 $M$ ， $A B = 8$ ， $O C = 5$ ，则 $M D$ 的长为（）

A、4 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为（）

A、1 cm B、2 cm C、3cm D、4cm

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，且 $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $M$ ，连接 $A D$ ．若 $A B = 8$ ， $C D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、10 B、5 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ，若 $O P = 3$ ，则经过点 $P$ 的弦长可能是（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $9$ D、 $12$

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8. 如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形，AB = 3，BC = 4．点P是线段 $B C$ 上一动点，点M为线段AP上一点． $∠ A D M = ∠ B A P$ ，则 $B M$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\sqrt{13} - \frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{13} - 2$

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10. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与BCFG，点M，N，P，Q分别是DE，FG，弧AC，弧BC的中点.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是（）

A、 $9 \sqrt{2}$ B、 $\frac{90}{7}$ C、13 D、16

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二、填空题

11. 如图，弦CD垂直平分半径OB，若直径AB=8，则CD=.

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12. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小.用锯去锯这木材，锯口深1寸(即CD＝1寸)，锯道长1尺(即AB＝1尺)，问这圆形木材直径是多少？(注：1尺＝10寸)由此，可求出这圆形木材直径为寸.

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13. 如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米.

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14. 已知⊙O的半径为10，弦AB//CD， AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为.

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15. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $A C$ 上一点，连结 $B D$ ，若 $∠ D B C = 45 °$ ，则 $\frac{A D}{C D}$ 的最大值为.

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16. 如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是.

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三、解答题

17. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，若 $A B = 26$ ， $E B = 8$ ，求弦 $C D$ 的长.

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18. 如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．

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20. 已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．

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21.
某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图）．
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=12 $\sqrt{3}$ cm，水面最深地方的高度为6cm，请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S．

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22. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点， $A B ∥ O C$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ O A B$ ；

(2)、过点O作 $O E ⊥ A B$ 于点E，交 $A C$ 于点P．若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ AOE = 30 °$ ，求 $P E$ 的长．

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23. 如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。

(1)、如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；

(2)、如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE

②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。

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