人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——21.2解一元二次方程

试卷更新日期：2023-12-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 把方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 转化成 $(x + m)^{2} = n$ 的形式，则m ， n的值是（）

A、 $2$ ， $2$ B、 $2$ ， $- 2$ C、 $- 2$ ， $2$ D、 $- 2$ ， $- 2$

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2. 关于x的方程 $m (x + h)^{2} + k = 0$ （m ， h ， k均为常数， $m \neq 0$ ）的解是 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 2$ ，则方程 $m (x + h - 3)^{2} + k = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = - 6$ ， $x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 5$ C、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 5$ D、 $x_{1} = - 6$ ， $x_{2} = 2$

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3. 直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax²+2x+1＝0的实数解的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、1或2

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4. 下列一元二次方程无实数根的是（）

A、 $x^{2} + x - 2 = 0$ B、 $x^{2} - 2 x = 0$ C、 $x^{2} + x + 5 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$

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5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m n x + m + n = 0$ ，其中 $m$ ， $n$ 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

A、有两个相等的实数解 B、没有实数解 C、有两个不相等的实数解 D、无法确定

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6. 已知关于x的方程（k-3）x²-4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A、k≤5 B、k＜5且k≠3 C、k≤5且k≠3 D、k≥5

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7. 定义新运算：对于两个不相等的实数a ， b ，我们规定符号max{a ， b}表示a ， b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x ， -x}＝ $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{2}$ ，则x的值是（　　）

A、-1 B、-1或2+ $\sqrt{5}$ C、2+ $\sqrt{5}$ D、1或2- $\sqrt{5}$

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8. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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9. 已知一个三角形三边长为a ， b ， c ，且满足a²-4b＝7，b²-4c＝-6，c²-6a＝-18，则此三角形的形状是（　　）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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10. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为－3和5，乙把常数项看错了，解得两根为＋2和－3，则原方程是（）

A、 $x^{2} + 4 x - 15 = 0$ B、 $x^{2} - 4 x + 15 = 0$ C、 $x^{2} + 4 x + 15 = 0$ D、 $x^{2} + x - 15 = 0$

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二、填空题

11. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的根，则该三角形的第三边的长为．

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12. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + k$ 的图象与x轴只有一个公共点，则 $k =$ ．

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13. 已知 $x y \neq 1$ ，且有 $x^{2} + 20 x + 10 = 0$ 及 $10 y^{2} + 20 y + 1 = 0$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的值为．

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14. 方程 $x^{2} + m x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 3$ ，则 $m =$ ．

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15. 已知：m²-2m-1＝0，n²+2n-1＝0且mn≠1，则 $\frac{m n + n + 1}{n}$ 的值为．

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三、计算题

16. 解下列方程：

(1)、用配方法解一元二次方程： $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ；

(2)、用因式分解法解方程 $(x + 4)^{2} = 5 (x + 4)$ ；

(3)、用公式法解方程 $3 x^{2} + 6 x - 5 = 0$ ；

(4)、用合适的方法解方程 $4 x^{2} + 2 x = 1$ ．

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17. 解方程：

(1)、 $4 (x + 1)^{2} = \frac{1}{4} ($ 直接开平方法 $)$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x + 2 = 0 ($ 配方法 $)$ ；

(3)、 $x (x - 2) = 2 - x ($ 因式分解法 $)$ ；

(4)、 $8 x^{2} + 10 x = 3 ($ 公式法 $)$ ．

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四、解答题

18. 已知关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+k＝0（k为常数）．

(1)、求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根x₁ ， x₂满足x₁+x₂＝x₁_•x₂-1，求k的值．

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19. 【阅读材料】
若 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 25 = 0$ ，求 $x$ ， $y$ 的值．
解： $(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} - 6 y + 9) = 0$ ， $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ ，
$∴ x + 4 = 0$ ， $y - 3 = 0$ ，
$∴ x = - 4$ ， $y = 3$ ．

(1)、【解决问题】
已知 $m^{2} + n^{2} - 12 n + 10 m + 61 = 0$ ，求 $(m + n)^{2023}$ 的值；

(2)、【拓展应用】
已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $b$ ， $c$ 满足 $b^{2} + c^{2} = 8 b + 4 c - 20$ ， $a$ 是 $△ A B C$ 中最长的边，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 2 k = 0 ①$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、从因式分解法可知，方程 $①$ 也可转化为 $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 ② .$ 把方程 $②$ 的左边展开化成一般形式后，可以得到方程 $①$ 两个根的和、积与系数分别有如下关系： $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} \cdot x_{2} =$ ； $($ 用含 $k$ 的式子表示 $)$

(3)、是否存在实数 $k$ ，使得 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 16$ 成立？若存在，请求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知关于x的一元二次方程x²-6x+2m-1＝0有x₁ ， x₂两实数根．

(1)、若x₁＝1，求x₂及m的值；

(2)、是否存在实数m ，满足（x₁-1）（x₂-1）＝ $\frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知关于x的一元二次方程x²-2x-3m²＝0．

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - m = 3$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 取负整数，求 $x_{1} - 3 x_{2}$ 的值；

(3)、若该方程的两个实数根的平方和为 $18$ ，求 $m$ 的值．

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