2023-2024学年广东省（人教版）八年级（上）数学期末模拟卷（三）

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 等腰三角形的两边分别为3和6，则这个三角形的周长是（）

A、9 B、12 C、15 D、12或15

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2. 在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（　　）

A、40° B、45° C、50° D、60°

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3. 若 $3^{x} = 6$ ， $3^{y} = 2$ ，则 $3^{y - x} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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4. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（）

A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $6 a + 2 b = 8 a b$ B、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ C、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$ D、 ${(b^{2})}^{4} = b^{6}$

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6. 要使得分式 $\frac{1}{x - 3}$ 无意义，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $x = 3$ B、 $x ≠ 0$ C、 $x ≥ 3$ D、 $x > 3$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，中线 $A D$ 与角平分线 $C E$ 相交于点 $F$ ，已知 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ A F C$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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8. 如图， $A D ∥ B C ， B D$ 平分 $∠ A B C$ ，下列结论中，正确的个数是（）
$① ∠ A D B = ∠ A B D ； ② ∠ A B D = ∠ A B C ； ③ ∠ A D B = ∠ B D C ； ④ A B = A D$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min｛a，b｝表示a、b中较小的值，如Min｛2，4｝=2，按照这个规定，方程Min｛ $\frac{1}{x} ， \frac{3}{x}$ ｝= $\frac{4}{x} - 1$ 的解为（）

A、1或3 B、1或-3 C、1 D、3

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10. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想办法在作业本画了一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）

A、AAS B、ASA C、SSS D、SAS

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 已知点M(﹣6，2)，则M点关于x轴对称点的坐标是.

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12. 若 $4^{x} = 6$ ， $4^{y} = 12$ ，则 $4^{2 x - y} =$ ．

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13. 使得分式 $\frac{2 x - 6}{x + 3}$ 有意义的条件是．

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14. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是．

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15. 如图：在平面直角坐标系中，已知正比例函数 $y = \frac{3}{4} x$ 与一次函数 $y = - 2 x + 11$ 的图象交于点A，设x轴上有一点P作x轴的垂线（垂足位于点A的右侧），分别交 $y = \frac{3}{4} x$ 和 $y = - 2 x + 11$ 的图象于点B、C，连接OC，若 $B C = \frac{11}{5} O A$ ，则△OBC的面积为．

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三、解答题（共8题，共75分）

16. 计算：

(1)、 $(2 a + 3 b) (2 a - 3 b) - {(a - 3 b)}^{2}$ ；

(2)、 $(9 x^{3} y - 12 x y^{3} + 3 x y^{2}) \div (- 3 x y) - (2 y + x) (2 y - x)$ ．

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17. 先化简，再求值： $\frac{x + 1}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x - 1}$ ，其中x=－2．

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18. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

(1)、用尺规作图作∠CBA的角平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；

(2)、在上图中，若BD=10cm，求DC的长

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19. 如图，P是 $∠ M O N$ 内一点， $P A ⊥ O M$ 于点A， $P B ⊥ O N$ 于点B，连接 $A B$ ， $∠ P A B = ∠ P B A$ ．求证： $O P$ 平分 $∠ M O N$ ．

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20. 水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．

(1)、第一次所购水果的进货价是每千克多少元？

(2)、水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？

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21. 我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．如图，利用图1中边长分别为 $a$ ， $b$ 的正方形，以及长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形卡片若干张，拼成图2正方形和图3长方形．

(1)、请写出一个能够表示图2面积关系的乘法公式；

(2)、请用两种不同的代数式表示图3的面积；

(3)、根据（2）所得的结果，写出一个表示因式分解的等式．

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22. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则解得x₁＝a，x₂＝b．又因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x}$ ﹣（a+b），所以关于x的方程x+ $\frac{a b}{x}$ ＝a+b的解为x₁＝a，x₂＝b．

(1)、理解应用：方程 $\frac{x^{2} + 2}{x} = 3 + \frac{2}{3}$ 的解为：x₁＝， x₂＝；

(2)、知识迁移：若关于x的方程x+ $\frac{3}{x}$ ＝5的解为x₁＝a，x₂＝b，求a²+b²的值；

(3)、拓展提升：若关于x的方程 $\frac{4}{x - 1}$ ＝k﹣x的解为x₁＝t+1，x₂＝t²+2，求k²﹣4k+2t³的值．

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23. 阅读材料：如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图在AB边上求作点P，使得∠BPC+∠ACP＝90°．
小明提出想法：如图2，假设点P为所求作的点，连接CP，此时有∠BPC+∠ACP＝90°，因为∠BCP+∠ACP＝90°，所以∠BPC＝∠BCP，从而得到：BP＝BC．
由此想法得到如下作图方法：如图2，以点B为圆心，BC为半径画弧，该弧与AB相交于点P，则点P即为所作的点．
根据以上材料，完成下面两个问题：

(1)、请你类比上述作图方法，在图2中，用尺规作图在AB边上求作点Q，使得∠CQB+∠A＝180°．

(2)、在（1）的条件下，
①若AC＝6，AB＝10，求PQ的长．
②请直接写出∠PCQ与∠B之间的数量关系是　．

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