2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$ D、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$

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2. 下列运算错误的是（）

A、 $\sqrt{3} (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 4$ B、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} - \sqrt[3]{- 27} = - 1$ C、 $\sqrt{2} (\sqrt{2} + 2) = 2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $| \sqrt{2} - \sqrt{3} | + 2 \sqrt{2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

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3. 我们规定：对于任意的正数m，n的运算“ $Φ$ ”为当 $m < n$ 时， $m Φ n = 2 \sqrt{m} + \sqrt{n}$ ；当 $m \geq n$ 时， $m Φ n = 2 \sqrt{m} - \sqrt{n}$ ，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算 $(3 Φ 2) - (8 Φ 12)$ 的结果为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $- 5 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $- 4 \sqrt{2}$

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4. 计算 $\sqrt{32} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} \times \sqrt{5}$ 的结果估计在（　　）

A、 $7$ 与 $8$ 之间 B、 $8$ 与 $9$ 之间 C、 $9$ 与 $10$ 之间 D、 $10$ 与 $11$ 之间

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5. 下列各式中能与 $\sqrt{2}$ 合并的二次根式是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 下列式子与 $\sqrt{12}$ 可以进行合并的是（）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $2 \sqrt{30}$ D、 $\sqrt{18}$

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7. 与 $\sqrt{18}$ -3最接近的整数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如果最简根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 与 $\sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么使 $\sqrt{4 a - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是（　　）

A、x≤10 B、x≥10 C、x＜10 D、x＞10　

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二、填空题

9. 若最简二次根式 $\sqrt{2 m + n}$ 和 $\sqrt[m - n + 1]{m + 7}$ 是同类二次根式，则 $m n =$ ．

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10. 计算： $2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$ ＝．

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11. 如果最简二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 与 $2 \sqrt{6 - 3 a}$ 是同类二次根式，则a= ．

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12. 已知 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，则 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值为．

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13. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ， b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} ， S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}$
…，S₁₀₀＝ $\frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ，则S₁+S₂+…+S₁₀₀＝．

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三、解答题

14. 已知： $a + b = - 2$ ， $a b = 1$ ，求： $b \sqrt{\frac{b}{a}} + a \sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值．

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15. 有一道练习题：对于式子 $2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ 先化简，后求值，其中a= $\sqrt{2}$ ．
小明的解法如下：

$2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4} = 2 a - \sqrt{{(a - 2)}^{2}} = 2 a - (a - 2) = a + 2 = \sqrt{2} + 2$ ．

小明的解法对吗?如果不对，请改正．

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四、计算题

16. 计算： $\sqrt[3]{- 27} - \sqrt{5^{2} - 4^{2}} + (- 1)^{2022} + (\frac{1}{4})^{- 1} - 202 2^{0}$ ．

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五、综合题

17. 观察、发现： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^{2} - 1}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}$ = $\sqrt{2}$ -1

(1)、试化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；

(2)、直接写出： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ =　　；

(3)、求值： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ + $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ．

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18. 阅读下面的材料，解决问题：
像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．

例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ；

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ； $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}} + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的大小，并说明理由．

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2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

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