2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法同步分层训练基础卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{12}}$

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2. 下列运算结果正确的是（　　）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$ B、 $3 + \sqrt{7} = 3 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{7} = \sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{7} - 7 = \sqrt{7}$

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3. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{48}$ D、 $\sqrt{108}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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5. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4$ C、 $\sqrt{{(- 6)}^{2}} = - 6$ D、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

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6. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{3} \sqrt{6} ， 3 \sqrt{72}$ B、 $3 \sqrt{5} ， \sqrt{15}$ C、 $\frac{1}{2} \sqrt{12} ， \sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{8} ， \sqrt{\frac{2}{3}}$

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7. 若最简二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x}$ 是同类二次根式，则x的值为（）

A、x＝0 B、x＝1 C、x＝2 D、x＝3

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8. 已知二次根式 $\sqrt{32 - a}$ 与 $\sqrt{8}$ 化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 写出 $\sqrt{20}$ 的一个同类二次根式（注：被开方数不是20）．

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10. 若最简二次根式 $\sqrt{1 - 2 a}$ 和 $\sqrt[b - 1]{7}$ 是同类二次根式，那么a+b的值是．

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11. 在进行二次根式化简时，我们可以将 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 进一步化简，如：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ = $\frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ = $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}$ = $\sqrt{3} - 1$
则 $\frac{2}{1 + \sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \frac{2}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} + . . . + \frac{2}{\sqrt{4 n - 1} + \sqrt{4 n + 3}} =$ .

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12. 在进行二次根式化简时，我们可以将 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 进一步化简，如：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$

则 $\frac{2}{1 + \sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \frac{2}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{4 n - 1} + \sqrt{4 n + 3}}$ ＝.

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13. 若最简二次根式 ${}_{2 a - 4}{\sqrt{3 a + b}}$ 与 $\sqrt{a - b}$ 是同类根式，则2a-b＝．

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三、解答题

14. 先化简： $\frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \sqrt{a b}$ ，再求当 $a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ 时的值．

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15. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求代数式 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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四、计算题

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} -$ 3 $\sqrt{8} +$ 2 $\sqrt{18}$ ；

(2)、4 $\sqrt{15} \times$ 2 $\sqrt{3} \div \sqrt{5}$ ．

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五、综合题

17. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如： $5 + 2 \sqrt{6} = (2 + 3) + 2 \sqrt{2 \times 3} = {(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ $8 + 2 \sqrt{7} = (1 + 7) + 2 \sqrt{1 \times 7} = 1^{2} + {(\sqrt{7})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{7} = {(1 + \sqrt{7})}^{2}$

(1)、【类比归纳】
请你仿照小明的方法将 $7 + 2 \sqrt{10}$ 化成另一个式子的平方．

(2)、【变式探究】
若 $a + 2 \sqrt{21} = {(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ 且a，m，n均为正整数，求a值.

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18. 设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．

(1)、尝试：
①当a=1时，15²=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，25²=625=2×3×100+25；
③当a=3时，35²= 1225=；
．．．．．．

(2)、归纳： $\overset{— — 2}{a 5}$ 与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．

(3)、运用：若 $\overset{— — 2}{a 5}$ 与100a的差为2525，求a的值．

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2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练基础卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

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