2023-2024学年初中数学八年级上册 5.2 二次根式的乘法和除法同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 6$ D、 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 7$

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2. 估计 $\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{15})$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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3. 下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（　　）

A、 $\sqrt{a b}$ = $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ B、 $\sqrt{a^{2}}$ =a C、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ = $\sqrt{a b}$ D、 $\sqrt{\frac{x}{y}}$ = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

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4. 下列计算结果中，是无理数的是（）

A、 $(- π) + π$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + π$ D、 $\sqrt{4}$

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5. 化简 $\sqrt{- x y^{2}}$ （y＜0）的结果是（　　）

A、y $\sqrt{x}$ B、y $\sqrt{- x}$ C、-y $\sqrt{x}$ D、-y $\sqrt{- x}$

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6. 如果 $a b > 0$ ， $a + b < 0$ 那么下面各式： $① \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} ； ② \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = 1 ； ③ \sqrt{a b} \div \sqrt{\frac{a}{b}} = - b ；$ 其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③

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7. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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8. 在将式子 $\frac{m}{\sqrt{m}}$ （m＞0）化简时，
小明的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}}$ = $\frac{m^{} \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}$ = $\frac{m \sqrt{m}}{m}$ = $\sqrt{m}$ ；

小亮的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{{(\sqrt{m})}^{2}}{\sqrt{m}} = \sqrt{m}$ ；

小丽的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{m}} = \sqrt{m}$ .

则下列说法正确的是（　　）

A、小明、小亮的方法正确，小丽的方法错误 B、小明、小丽的方法正确，小亮的方法错误 C、小明、小亮、小丽的方法都正确 D、小明、小丽、小亮的方法都错误

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二、填空题

9. 计算 $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$ 的结果是．

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10. 若两个代数式 $M$ 与 $N$ 满足 $M \cdot N = - 1$ ，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则 $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ 的“互为友好因式”是．

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11. 若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 2 y - 5$ ，则 $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} - y}$ 的值是

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12. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2},$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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13. 观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；

② $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

③ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

…

参照上面等式计算方法计算：

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{3 \sqrt{11} + \sqrt{101}} =$ .

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三、解答题

14. 若 $[x]$ 表示不超过x的最大整数（如 $[π] = 3 ， [- 2 \frac{2}{3}] = - 3$ 等），求 $[\frac{1}{2 - \sqrt{1 \times 2}}] + [\frac{1}{3 - \sqrt{2 \times 3}}]$ $+ [\frac{1}{3 - \sqrt{2 \times 3}}] + \dots + [\frac{1}{2014 - \sqrt{2013 \times 2014}}]$ 的值．

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15. 已知 $\frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}}$ + $\frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{3 \sqrt{4} + 4 \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}$ ＝ $\frac{49}{50}$ ，求n的值.

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四、综合题

16. 阅读下面的材料并解决问题.
      $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$

      $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

      $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$

……

(1)、观察上式并填空： $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ .

(2)、观察上式并猜想：当n是正整数时， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；（用含 $n$ 的式子表示）

(3)、请利用（2）的结论计算下列式子：
      $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}} + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2023} + 1)$

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17. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题
$($ $\sqrt{2}$ $+ 1) ($ $\sqrt{2}$ $- 1) = 1$
$($ $\sqrt{3}$ $+$ $\sqrt{2}$ $) ($ $\sqrt{3}$ $-$ $\sqrt{2}$ $) = 1$
$($ $\sqrt{4}$ $+$ $\sqrt{3}$ $) ($ $\sqrt{4}$ $-$ $\sqrt{3}$ $) = 1$
$($ $\sqrt{5}$ $+$ $\sqrt{4}$ $) ($ $\sqrt{5}$ $-$ $\sqrt{4}$ $) = 1$

(1)、观察以上规律，请写出第 $n$ 个等式：( $n$ 为正整数)．

(2)、利用上面的规律，计算 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ $+$ $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ $+$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ $+ \dots +$ $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

(3)、请利用上面的规律，比较 $($ $\sqrt{18}$ $-$ $\sqrt{17}$ $)$ 与 $($ $\sqrt{19}$ $-$ $\sqrt{18}$ $)$ 的大小．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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