2023-2024学年初中数学八年级上册 5.1 二次根式同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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2. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x \leq 2$ C、 $x \neq 2$ D、 $x \geq - 2$

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3. 下列各式中，正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 $\sqrt{6} = 3$ C、 $\sqrt{4} = 2$ D、 $\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = \sqrt{- 4} \times \sqrt{- 9}$

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4. 下列 $x$ 的取值中，可以使 $\sqrt{7 - x}$ 有意义的是（）

A、0 B、16 C、20 D、2023

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5. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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6. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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7. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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二、填空题

8. 式子 $\sqrt{x + 3}$ 有意义，则x的取值范围是．

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9. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$ 的结果是．

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10. 数轴上点 $A$ 表示的数为 $- \sqrt{2}$ ，将点 $A$ 沿数轴向右平移 $2$ 个单位长度到达点 $B$ ，设点 $B$ 所表示的数为 $m$ ，则 $| m - 1 | - | 2 - m | =$ ．

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11. 比较大小： $- 2 \sqrt{5}$ $- 3 \sqrt{2}$ (填“ $>$ ”“ $<$ ”或“=”)．

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12. 已知 $y = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} - x + 3$ ，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是．

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三、解答题

13. 若实数x，y满足 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 2$ ，求 $\frac{\sqrt{x + 1}}{y - 1}$ 的值．

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14. 在学习了二次根式 $\sqrt{a^{2}}$ 的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道题．
化简求值： $3 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$
他的做法为：解：原式 $= 3 a - \sqrt{{(a - 2)}^{2}} = 3 a - (a - 2) = 3 a - a + 2 = 2 a + 2$
当 $a = \sqrt{2}$ 时，原式 $= 2 \sqrt{2} + 2$
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．

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四、综合题

15. 观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；

第2个等式： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

第3个等式： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ，验证： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}} ， ⋯$ ．

(1)、请写出第4个等式，并验证；

(2)、按照以上各等式反映的规律，猜想第 $n - 1$ 个 $(n$ 为正整数，且 $n \geq 2)$ 等式，并通过计算验证你的猜想．

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16. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： ${(\sqrt{1 - 3 x})}^{2} - | 1 - x |$ ．
解：隐含条件 $1 - 3 x \geq 0 ，$ ，解得 $x \leq \frac{1}{3}$ ，
∴ $1 - x > 0$ ，
∴原式 $= 1 - 3 x - (1 - x) = 1 - 3 x - 1 + x = - 2 x$ ．

(1)、试化简： $\sqrt{(x - 3)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$ ；

(2)、已知a、b满足 $\sqrt{(2 - a)^{2}} = a + 3 ， \sqrt{a - b + 1} = a - b + 1$ ，求 $a b$ 的值．

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2023-2024学年初中数学八年级上册 5.1 二次根式 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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