2023-2024学年初中数学八年级上册 4.5 一元一次不等式组同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和 $3000$ 盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉 $30$ 盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉 $80$ 盆.设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（）

A、 ${\begin{array}{l} 70 x + 40 (50 - x) \leq 2660 \\ 30 x + 80 (50 - x) \leq 3000 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 70 x + 40 (50 - x) < 2660 \\ 30 x + 80 (50 - x) < 3000 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 70 x + 40 (50 - x) \geq 2660 \\ 30 x + 80 (50 - x) \geq 3000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 70 x + 40 (50 - x) > 2660 \\ 30 x + 80 (50 - x) > 3000 \end{array}$

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2. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 > \frac{3 x - 2}{2} \\ 3 x - a \leq 2 \end{array}$ 的解集为 $x < - 2$ ，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{2 y}{y + 1} = \frac{a}{y + 1} - 1$ 的解为负整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是（）

A、 $- 15$ B、 $- 13$ C、 $- 7$ D、 $- 5$

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3. 对于任意实数p、q，定义一种运算： $p @ q = p + q - pq$ ，如： $2 @ 3 = 2 + 3 - 2 \times 3$ ，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 ${\begin{matrix} 2 @ x > 0 \\ x @ 3 \leq m \end{matrix}$ 有2个整数解，则m的取值范围为是（）

A、3≤m<5 B、3<m≤5 C、3≤m≤5 D、3<m<5

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4. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 6 - 3 x < 0 \\ 2 x \leq a \end{array}$ 恰好有3个整数解，则a满足（）

A、 $a = 10$ B、 $10 \leq a < 12$ C、 $10 < a \leq 12$ D、 $10 \leq a \leq 12$

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5. 不等式组 ${\begin{cases} 3 x + 9 < 5 x + 1 \\ x > 2 m + 2 \end{cases}$ 的解集是x＞4，则m的取值范围是（）

A、m≤2 B、m≥2 C、m≤1 D、m＞1

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6. 如果关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - m}{3} \leq 1 \\ x - 4 > 3 (x - 2) \end{array}$ 的解集为 $x < 1$ ，且关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{1 - x} + \frac{mx}{x - 1} = 3$ 有非负数解，则所有符合条件的整数 $m$ 的值之和是（）

A、-2 B、0 C、3 D、5

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7. 不等式 $0 \leq a x + 5 \leq 4$ 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（）

A、 $- \frac{5}{4} \leq a < - 1$ B、 $a \leq - 1$ C、 $a \leq - \frac{5}{4}$ D、 $a \geq - \frac{5}{4}$

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8. 高斯函数 $[x]$ ，也称为取整函数，即 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.例如： $[2.3] = 2$ ， $[- 1.5] = - 2 .$ 则下列结论：① $[- 2.1] + [- 1] = - 3$ ；② $[x] + [- x] = 0$ ；③若 $[x - 1] = 1$ ，则 $x$ 的取值范围是 $2 ⩽ x < 3$ ；④当 $- 1 ≤ x < 1$ 时， $[x + 1] + [- x + 1]$ 的值为0，1，2其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x + 2 \geq 2 x - 1 \end{array}$ 的整数解有个.

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10. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 5 < 0 \\ x - a > 0 \end{array}$ 有且仅有一个整数解 $x = 2$ ，则实数a的取值范围是.

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - a \geq 0 \\ 1 - 2 x > - 3 \end{array}$ 的整数解共有4个，则a的取值范围是 .

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12. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} x - 6 < 15, \\ 2 x + 2 < 3 x + 3 a \end{matrix}$ .只有4个整数解，则 $a$ 的取值范围是.

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13. 我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．若 $[3 + \sqrt{x}] = 6$ ，则x的取值范围是．

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三、解答题

14. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 4 < 2 x \\ x + \frac{3 - x}{2} \leq 1 \end{array}$ ，并求出所有满足条件的整数之和.

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15. 解一元一次不等式组 ${\begin{cases} 3 x \leq 2 x + 3 \\ \frac{x + 1}{6} - 1 < \frac{2 x + 2}{3} \end{cases}$ ，并把解表示在数轴上．

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四、综合题

16. 若不等式 $($ 组 $)$ 只有 $n$ 个正整数解 $(n$ 为自然数 $)$ ，则称这个不等式 $($ 组 $)$ 为 $n$ 阶不等式 $($ 组 $)$ ．
我们规定：当 $n = 0$ 时，这个不等式 $($ 组 $)$ 为 $0$ 阶不等式 $($ 组 $)$ ．

例如：不等式 $x + 1 < 6$ 只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．

不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 2 \\ 2 x - 3 < 7 \end{array}$ 只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．

请根据定义完成下列问题：

(1)、 $x < \frac{1}{2}$ 是阶不等式； ${\begin{array}{l} x > 1 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 是阶不等式组；

(2)、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 a < 0 \\ 2 + 3 x \geq \frac{x + 9}{2} \end{array}$ 是4阶不等式组，求 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解有 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ 其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < \dots$
如果 ${\begin{array}{l} x \geq p \\ x < m \end{array}$ 是 $(m - 3)$ 阶不等式组，且关于 $x$ 的方程 $2 x - m = 0$ 的解是 ${\begin{array}{l} x \geq p \\ x < m \end{array}$ 的正整数解 $a_{3}$ ，请求出 $m$ 的值以及 $p$ 的取值范围．

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17. 阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围“有如下解法，

解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1.

又y＜0，∴﹣1＜y＜0.…①

同理，得：1＜x＜2.…②

由①+②，得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2.

请按照上述方法，完成下列问题：

已知关于x、y的方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = 1 \\ x - y = 5 - 3 a \end{cases}$ 的解都为非负数.

(1)、求a的取值范围.

(2)、已知2a﹣b＝﹣1，求a+b的取值范围.

(3)、已知a﹣b＝m，若 $\frac{1}{2} < m < 1$ ，且b≤1，求a+b的取值范围（用含m的代数式表示）.

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