山东省济南市市中区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

1. 实数4的平方根是（　　）

A、2 B、-2 C、 $\sqrt{2}$ D、±2

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2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（　　）

A、（2，-4） B、（-2，4） C、（-2，-4） D、（2，4）

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3. 在△ABC中a ， b ， c分别是∠A、∠B ， ∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A、a：b：c＝5：12：13 B、 $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{2} ： \sqrt{3}$ C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D、∠A+∠B＝∠C

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4. 下列数中-4， $\frac{23}{7}$ ， 3.1415，-3π，3.030030003…中，无理数的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 下列计算中，结果错误的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ D、 ${(- \sqrt{2})}^{2} = 2$

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6. 已知点（-2，y₁），（3，y₂）都在直线y＝-x+1上，则y₁与y₂的大小关系是（　　）

A、y₁＜y₂ B、y₁＝y₂ C、y₁＞y₂ D、无法确定

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7. 一次函数y₁＝ax+b与正比例函数y₂＝-bx在同一坐标系中的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm ， 3cm和1cm ， A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（　　）

A、10 B、11 C、12 D、13

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9. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（　　）
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N ．

A、①② B、②④ C、①④ D、③④

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10. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC ， BD ，则AC+BD的最小值为（　　）

A、5 B、 $3 \sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{29}$

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二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）

11. 若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为．

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12. 已知点P（2-a ， a-3）在y轴上，则a＝．

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13. 如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点A（-2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是．

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14. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是.

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15. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x ，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要小时．

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16. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA₁A₂＝∠MA₂A₃⋯＝∠MA_nA_n₊₁＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（-1，2），A₁的坐标是（0，2），则A₂₀₂₃的坐标为．

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三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{20} - \sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{18}}{\sqrt{3}} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{3}$ ．

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18. 解方程：

(1)、（x-4）²-9＝0；

(2)、（x+1）³＝-27．

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19. 学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．

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20. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（-4，3）．

(1)、点B的坐标为（，），点C的坐标为（，）．

(2)、△ABC的面积是．

(3)、作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 ▲ 　．

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21. 如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，AB＝26米，BC＝24米．

(1)、判断△ABC的形状并证明．

(2)、求草坪（阴影部分）的面积．

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22. 一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（-1，3）在该图象上，连接OC ．

(1)、求函数y＝kx+b的关系式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、点P为x轴上一动点，若S_△_ACP＝3S_△_AOB ，求点P的坐标．

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23. 某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．

(1)、每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y_甲＝ ${\begin{cases} 8 (0 \leq x \leq 30) \\ () (x > 30) \end{cases}$ ， y_乙＝（x≥0）．（填写最简结果）

(2)、为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．
①写出图中A点表示的实际意义．
②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？

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24. 小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求2a²-8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ， ∴（a-2）²＝3，a²-4a+4＝3
∴a²-4a＝-1，∴2a²-8a+1＝2（a²-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ＝， $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝．

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{11}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{121} + \sqrt{119}}$ ．

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，请按照小明的方法求出4a²-8a+1的值．

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25. 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA ，过点A作AD⊥I交于点D ，过点B作BE⊥l交于点E ，易得△ADC≌△CEB ，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l₁：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（-1，0）．

(1)、求k的值和点A的坐标；

(2)、在第二象限构造等腰直角△ABE ，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；

(3)、将直线l₁绕点A旋转45°得到l₂ ，求l₂的函数表达式．

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26. △ABC中，AC＝BC ， ∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．

(1)、【探究发现】如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD ，取EC＝CD ，连接BE ．易证△ADC≌△BEC ．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．

(2)、【迁移运用】如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．

(3)、【延伸拓展】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．

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