安徽省合肥市四十五中橡树湾校区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面直角坐标系中，点(2，-1)所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是（）

A、 $1$ ， $2$ ， $3$ B、 $3$ ， $4$ ， $5$ C、 $3$ ， $5$ ， $10$ D、 $4$ ， $4$ ， $8$

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3. 已知点 $A （ - 4 ， y_{1} ）$ ， $B （ 2 ， y_{2} ）$ 都在直线 $y = - x + 2$ 上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、不能比较

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4. 如图， $A B / / C D$ ，且 $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 24 °$ ，则 $∠ E$ 等于（）

A、 $40 °$ B、 $32 °$ C、 $24 °$ D、 $16 °$

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5. 下列命题中，真命题的个数是（）
$①$ 对顶角相等； $②$ 两直线平行，同旁内角相等； $③$ 平行于同一条直线的两直线平行； $④$ 若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} = b^{2}$ ，则 $a = b$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6. 一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = x + 2$ 的图象相交于如图点 $P （ m ， 4 ）$ ，则关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = x + 2 \end{array}$ 的解是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 4 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 2.4 \\ y = 4 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$

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7. 下列条件中，能确定 $△ A B C$ 是直角三角形的条件有（） $① ∠ A + ∠ B = ∠ C$ ； $② ∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 1$ ： $2$ ： $3$ ； $③ ∠ A = 90 ° - ∠ B$ ； $④ ∠ A = ∠ B = \frac{1}{2} ∠ C$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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8. 一次函数 $y = m x - n$ 与 $y = m n x （ m n \neq 0 ）$ ，在同一平面直角坐标系的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 $x （ h ）$ ，两车之间的距离为 $y （ k m ）$ ，图中的折线表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．下列说法中正确的是（）

A、 $B$ 点表示此时快车到达乙地 B、 $B - C - D$ 段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C、快车的速度为 $\frac{500}{3} k m / h$ D、慢车的速度为 $125 k m / h$

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10. 已知过点 $（ 2 ， 3 ）$ 的直线 $y = a x + b （ a \neq 0 ）$ 不经过第四象限．设 $S = a + 2 b$ ，则（）

A、 $S$ 有最大值 $\frac{3}{2}$ B、 $S$ 有最小值 $\frac{3}{2}$ C、 $S$ 有最大值 $6$ D、 $S$ 有最小值 $6$

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二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 点 $P （ - 3 ， 4 ）$ 到 $y$ 轴的距离是．

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12. 函数 $y = \frac{x + 1}{x - 3}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $B D$ 为 $A C$ 边上的高，若 $∠ C B D = 10 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为．

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14. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数 $y_{1} = - x + 2$ ， $y_{2} = k x - k + 1$ ．

(1)、若 $k = 1$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象与 $x$ 轴围成的区域内 $（$ 包括边界 $）$ 有个整点；

(2)、若 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象与 $x$ 轴围成的区域内恰有 $6$ 个整点，则 $k$ 的的取值范围是．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知一次函数的图象过 $（ 3 ， 5 ）$ 和 $（ - 4 ， - 9 ）$ 两点．

(1)、求此一次函数的解析式；

(2)、试判断点 $（ - 1 ， - 3 ）$ 是否在此一次函数的图象上．

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16. 如图， $D$ 是 $A B$ 上一点， $E$ 是 $A C$ 上一点， $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ， $∠ A = 62 °$ ， $∠ A C D = 35 °$ ， $∠ A B E = 20 °$ ，求 $∠ B D C$ 和 $∠ B F D$ 的度数．

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17. 如图，在边长为 $1$ 个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形 $A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $A （ - 1 ， 4 ）$ ，顶点 $B$ 的坐标为 $B （ - 4 ， 3 ）$ ，顶点 $C$ 的坐标为 $C （ - 3 ， 1 ）$ ．

(1)、把三角形 $A B C$ 向右平移 $5$ 个单位长度，再向下平移 $4$ 个单位长度得到三角形 $A' B' C'$ ，请你画出三角形 $A' B' C'$ ；

(2)、请直接写出点 $A'$ ， $B'$ ， $C'$ 的坐标；

(3)、若点 $P （ m ， n ）$ 是 $△ A' B' C'$ 内部一点，则点 $P$ 平移前对应点 $Q$ 的坐标为．

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18. 已知：如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 上一点，连接 $C D . B E$ 平分 $∠ A B C$ ，分别交 $C D$ 、 $A C$ 于点 $F$ 、 $E$ ，若 $∠ C F E = ∠ C E F .$ 求证： $C D ⊥ A B$ ．

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19. 已知 $y - 1$ 与 $x + 1$ 成正比例，且 $x = 1$ 时， $y = - 3$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当 $y < 3$ 时，求 $x$ 的取值范围．

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20. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A C$ 边上的中线 $B D$ 把 $△ A B C$ 的周长分为 $15$ 和 $17$ 两部分．

(1)、求 $A B$ 和 $B C$ 的长；

(2)、若 $A B < B C$ ，且点 $D$ 到 $B C$ 边的距离为 $4$ ，求点 $D$ 到 $A B$ 边的距离．

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21. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y = m x + 4$ 与与 $x$ 轴交于点 $B$ ，点 $B$ 与点 $C$ 关于 $y$ 轴对称，直线 $l_{2}$ ： $y = k x + b$ 经过点 $C$ ，且与 $l_{1}$ 交于点 $A （ 1 ， 2 ）$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、记直线 $l_{2}$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$ ，记直线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴的交点为 $E$ ，求 $△ A D E$ 的面积；

(3)、根据图象，直接写出 $0 \leq m x + 4 < k x + b$ 的解集．

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22. 问题情景：如图 $1$ ，在同一平面内，点 $B$ 和点 $C$ 分别位于一块直角三角板 $P M N$ 的两条直角边 $P M$ ， $P N$ 上，点 $A$ 与点 $P$ 在直线 $B C$ 的同侧，若点 $P$ 在 $△ A B C$ 内部，试问 $∠ A B P$ ， $∠ A C P$ 与 $∠ A$ 的大小是否满足某种确定的数量关系？

(1)、特殊探究：若 $∠ A = 55 °$ ，则 $∠ A B C + ∠ A C B =$ 度， $∠ P B C + ∠ P C B =$ 度， $∠ A B P + ∠ A C P =$ 度；

(2)、类比探索：请猜想 $∠ A B P + ∠ A C P$ 与 $∠ A$ 的关系，并说明理由；

(3)、类比延伸：改变点 $A$ 的位置，使点 $P$ 在 $△ A B C$ 外，其它条件都不变，判断 $（ 2 ）$ 中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 $∠ A B P$ ， $∠ A C P$ 与 $∠ A$ 满足的数量关系式．

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23. 某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如表：
化肥种类
化肥单价
元 $/ k g$
所需化肥数量
$k g /$ 亩
每亩地增产
$k g$
甲
$5.2$
$40$
$150$
乙
$2.5$
$40$
$120$
设该种农作物每千克单价 $x （$ 元 $）$ ，已知 $3 \leq x \leq 4$ ，施肥前每亩产量为 $300 k g$ ．

(1)、若施甲种化肥每亩利润为 $y_{1} （$ 元 $）$ ，施乙种化肥每亩利润为 $y_{2} （$ 元 $）$ ，求出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数表达式．

(2)、选用哪种化肥合算？

(3)、为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利 $a$ 元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则 $a$ 的最小值为．

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