2023-2024学年初中数学八年级上册 2.4 线段的垂直平分线同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 边的垂直平分线，分别交 $B C 、 A C$ 于D、E两点，连接 $A D$ ， $∠ B A D = 25 °$ ， $∠ C = 35 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（　　）

A、 $70 °$ B、 $75 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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2. 如图，用直尺和圆规作 $∠ M A N$ 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A、 $A D = A E$ B、 $A D = D F$ C、 $D F = E F$ D、 $A F ⊥ D E$

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3. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（）

A、三角形三条中线的交点 B、三角形三条高所在直线的交点 C、三角形三个内角的角平分线的交点 D、三角形三条边的垂直平分线的交点

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 7$ ， $B C = 4$ ， $M$ 是 $A B$ 上的一点，若 $△ A C M$ 的周长比 $△ B C M$ 的周长大3，根据下列尺规作图痕迹可以得到符合条件的 $C M$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ 。作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ 。若 $A B = 8$ ， $A C = 14$ ， $B C = 6$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（）

A、25 B、22 C、20 D、14

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6. 如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线 $M N$ ；②再分别以B、C两点为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线 $G H$ ， $G H$ 与 $M N$ 交于点P，若 $∠ B A C = 66 °$ ，则 $∠ B P C$ 等于（）

A、100° B、120° C、132° D、140°

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7. 阅读以下尺规作图的步骤：
（1）作射线 $B D$ ，在射线 $B D$ 上截取 $B C = 4 c m$ （2）分别以点 $B$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $E$ 、 $F$ （3）作直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $O$ （4）在直线 $E F$ 上截取 $O A = 5 c m$ （5）连接 $A B$ ， $A C$
则可以说明 $A B = A C$ 的依据是（）

A、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C、等腰三角形的“三线合一” D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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8. 对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心， $O M$ 为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接 $P A$ ， $P B$ ，过点A作直线n与直线 $P B$ 垂直，设 $∠ A P B$ 是 $x °$ ，直线n与 $P A$ 所夹的锐角是 $y °$ ，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲： $x + y = 90$ ，乙： $x - y = 90$ ，丙： $x + y = 180$ ．
对于三人的答案，下列结论正确的是（）

A、只有甲的答案正确 B、甲和乙的答案合在一起才正确 C、甲和丙的答案合在一起才正确 D、甲乙丙的答案合在一起才正确

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二、填空题

9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 20 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $A E$ ， $A G$ ，则 $∠ E A G =$ ．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $A B$ 的一半为半径作弧，两弧交于点 $E$ ， $F$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ．若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A C D$ 的周长等于．

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11. 如下图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为。

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12. 如图，已知 $Δ A B C$ 三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若 $∠ B D C = 130 °$ ，则 $∠ B E C =$ 度．

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13. 如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P₁ ， P₂ ， P₃ ，连接P₁P₂ ， PP₃ ，则2P₁P₂+PP₃的最小值为．

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三、解答题

14. 在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D E$ 垂直平分 $A B$ ，已知 $∠ A D E = 40 °$ ，求 $∠ D B C$ ．

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15. 根据以下素材，探索完成任务.

三角形背景下角的关系探索
素材1	如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2	研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3	当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1	补全图形	请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2	特例猜想	有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3	一般结论	请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4	拓展延伸	除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.

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四、综合题

16. 如图，在 $△ ABC$ 中，已知 $AB = AC$ ， $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，点 $E$ 是 $AB$ 边上一动点，点 $P$ 是 $AD$ 上的一个动点．

(1)、若 $∠ BAD = 37 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

(2)、若 $BC = 6$ ， $AD = 4$ ， $AB = 5$ ，且 $CE ⊥ AB$ 时，求 $CE$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，请直接写出 $BP + EP$ 的最小值．

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17. 综合与实践：

已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．

作法：如图1所示，

①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P；

②连接PA，PB，PC．

结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形，

理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴…….. （依据）．

同理，PA＝PC．

∴PA＝PB＝PC．

∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形

任务：

(1)、上述过程中，横线上的结论为，括号中的依据为．

(2)、受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．

(3)、如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择题．

A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．