2023-2024学年初中数学八年级上册 2.3 等腰三角形同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A、18 B、21 C、20 D、18或21

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2. 如图，将等边三角形 $A B C$ 纸片折叠，使得点A的对应点D落在 $B C$ 边上，其中折痕分别交边 $A B ， A C$ 于点E，F，连接 $D E ， D F$ ．若 $D F ⊥ B C$ ，则 $∠ A E F$ 的度数是（　　）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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3. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了 $A^{'}$ 点，若 $∠ O A A^{'} = 50 °$ ，则秋千旋转的角度为（　　）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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4. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后秦进衣服后松开即可．如图①，衣架杆 $O A = O B = 18 c m$ （ $O$ 为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时， $∠ A O B = 60 °$ ，则此时 $A$ ， $B$ 两点之间的距离是（）

A、 $9 c m$ B、 $9 \sqrt{3} c m$ C、 $18 c m$ D、 $18 \sqrt{3} c m$

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5. 如图，直线 $m ∥ n$ ，点 $C$ ， $A$ 分别在 $m$ ， $n$ 上，以点 $C$ 为圆心， $C A$ 长为半径画弧，交 $m$ 于点 $B$ ，连接 $A B$ ．若 $∠ B C A = 140 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、10° B、15° C、20° D、25°

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6. 如图，△ABC中∠A=110°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2 等于（）．

A、110° B、180° C、290° D、310°

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7. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 2 0^{∘}$ ， $∠ A B C = 3 0^{∘}$ ，将 $△ A B C$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $5 0^{∘}$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，以下结论：① $B C = B^{'} C^{'}$ ， ② $A C / / C' B^{'}$ ， ③ $C^{'} B^{'} ⊥ B B^{'}$ ， ④ $∠ A B B^{'} = ∠ A C C'$ ，正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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8. 有一块边长为 $2$ 的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形；如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第 $2020$ 个正三角形的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4^{2019}}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4^{2020}}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4^{4038}}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4^{4040}}$

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二、填空题

9. 如图，将等边△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则△OCD的周长最小值为．

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10. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做倍长三角形．若等腰 $△ A B C$ 是倍长三角形，腰 $A B$ 的长为10，则底边 $B C$ 的长为．

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11. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 $O A$ ， $O B$ 组成，两根棒在 $O$ 点相连并可绕 $O$ 转动， $C$ 点固定， $O C = C D = D E$ ，点 $D$ 、 $E$ 可在槽中滑动．若 $∠ B D E = 75 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数是．

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12. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，点 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} \dots$ 在射线 $O N$ 上，点 $B_{1} 、 B_{2} 、 B_{3} \dots$ 在射线 $O M$ 上， $△ A_{1} B_{1} A_{2} 、 △ A_{2} B_{2} A_{3} 、 △ A_{3} B_{3} A_{4} …$ 均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为 $a_{1}$ ，第2个等边三角形的边长记为 $a_{2}$ ，以此类推，若 $O A_{1} = 1$ ，则 $a_{2023} =$ ．

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13. 如图，锐角 $∠ M O N$ 内有一定点A，连接 $A O$ ，点B、C分别为 $O M$ 、 $O N$ 边上的动点，连接 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ ，设 $∠ M O N = α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ），当 $A B + B C + C A$ 取得最小值时，则 $∠ B A C =$ ．（用含 $α$ 的代数式表示）

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $B O 、 C O$ 分别平分 $A B C$ 和 $∠ A C B$ ，过点 $O$ 作 $D E ∥ B C$ ，分别交边 $A B 、 A C$ 于点 $D$ 和点 $E$ ，如果 $△ A B C$ 的周长等于14， $△ A D E$ 的周长等于9，求 $A C$ 的长．

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15. 阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝       ▲  ，       ▲  （角平分线定义）
又因为∠FPQ＝       ▲  +∠AED，       ▲  ＝       ▲  +∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝       ▲  （等式性质）
（请完成以下说理过程）

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四、综合题

16. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 上一点， $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、如图1，试说明 $C D = C B$ 的理由；

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点 $F$ ．
①试说明 $∠ B C D = 2 ∠ C B E$ 的理由；
②如果 $△ B D F$ 是等腰三角形，求 $∠ A$ 的度数．

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17. 如图 $∠ E O F$ ， $O M$ 平分 $∠ E O F$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别是射线 $O E$ 、 $O M$ 、 $O F$ 上的点（点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 不与点 $O$ 重合），联结 $A C$ ，交射线 $O M$ 与点 $D$ ．

(1)、如果 $A B / / O C$ ， $A C$ 平分 $∠ O A B$ ，试判断 $A C$ 与射线 $O B$ 的位置关系，试说明理由；

(2)、如果 $∠ E O F = 40 °$ ， $A B ⊥ O E$ ，垂足为点 $A$ ， $△ A D B$ 中有两个相等的角，请直接写出 $∠ D A O$ 的大小．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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