安徽省安庆市潜山市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）

1. 抛物线 $y = 3 x^{2} + 2$ 的顶点坐标是（　　）

A、 $（ 0 ， 2 ）$ B、 $（ 3 ， 0 ）$ C、 $（ 0 ， - 2 ）$ D、 $（ - 3 ， 0 ）$

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2. 下列各组中的四条线段成比例的是（　　）

A、1，2，3，4 B、2，4，3，5 C、4，8，5，10 D、3，9，4，7

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3. 下列各点中，在双曲线 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上的是（　　）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， - 3)$ C、 $(- 6 ， - 1)$ D、 $(2 ， - 6)$

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4. 当 $x > 0$ 时，下列函数值y随x增大而增大的是（）

A、 $y = - 5 x + 1$ B、 $y = - \frac{5}{x}$ C、 $y = - x^{2}$ D、 $y = - x^{2} + 2 x$

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5. 如图， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是位似图形，点O是位似中心， $C D = 2 A B$ ．若点A的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则点C的坐标为（　　）

A、 $(- 6 ， - 3)$ B、 $(- 5 ， - 3)$ C、 $(- 4 ， - 2)$ D、 $(- 4 ， - 3)$

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6. 如图，在 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 中，已知 $∠ A O C = ∠ B O D$ ，则添加下列条件能判定 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 相似的是（　　）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $∠ B = ∠ B O C$ C、 $\frac{O A}{A B} = \frac{O C}{O D}$ D、 $\frac{O D}{C D} = \frac{O B}{A B}$

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数）的图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A、 $a > 0 ， b < 0 ， c < 0$ B、 $a > 0 ， b > 0 ， c < 0$ C、 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ D、 $a < 0 ， b > 0 ， c < 0$

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8. 平移抛物线 $y = (x + 3)^{2} - 4$ 使其经过原点，则下列操作不正确的是（　　）

A、向右平移1个单位长度 B、向右平移5个单位长度 C、向下平移5个单位长度 D、向上平移4个单位长度

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9. 将一张三角形彩纸 $A B C$ 按如图所示的方式折叠，使点B落在边 $A C$ 上，记为点F，折痕为 $D E$ ．已知 $A B = A C = 6$ ， $B C = 8$ ，若以点C，D，F为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，则 $B D$ 的长是（　　）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{12}{7}$ 或4 D、 $\frac{24}{7}$ 或4

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10. 如图，直线 $y = - x - 4$ 分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线 $C D$ 于点A，B，且 $∠ A O B = 135 °$ ，则下列结论错误的是（　　）

A、 $△ A O D$ 与 $△ O B C$ 相似 B、 $B P = A P$ C、 $B C \cdot A D = 16$ D、 $k = 9$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 若 $\frac{n}{m} = \frac{3}{7}$ ，则 $\frac{m + n}{m}$ 的值为．

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12. 将抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为．

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13. 如图，点P是双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上的一点，点A，B是x轴正半轴上的不同点，连接AP，BP，已知 $O A ： A B = 1 ： 2$ ， $A P = B P$ ， $△ A O P$ 的面积为3，则 $k =$ ．

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 边上的一点，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $M$ ，连接 $A M$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\frac{E M}{C M} =$ ；

(2)、若 $∠ C M F = 45 °$ ，则 $\frac{E M}{C M} =$ ．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 已知抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ ，判断该抛物线与x轴的交点情况，并说明理由．

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16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $5 \times 8$ 的网格中， $Δ A B C$ 和 $Δ D E F$ 的顶点都在网格的格点上．求证： $△ A B C ∽ △ E F D$ ．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．

(1)、求v关于t的函数表达式；

(2)、若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时．

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
⑴画出 $△ A B C$ 关于y轴的轴对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵以点O为位似中心，在第一象限中出画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 位似，且相似比为 $1 ： 3$ ．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = - \frac{8}{x}$ 交于点 $A (- 2 ， m)$ 与点 $B (4 ， n)$ ．

(1)、直接写出不等式 $k x + b > - \frac{8}{x}$ 的解集：；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点E是 $B C$ 延长线上一点，连接 $D E ， A E ， B D ， A E$ 分别与 $B D ， C D$ 交于点F，G．

(1)、若 $\frac{A D}{B E} = \frac{1}{3}$ ， $A B = 6$ ，求 $D G$ 的长；

(2)、求证： $A F^{2} = F G \cdot E F$ ．

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六、（本题满分12分）

21. 某工厂生产地方特色手工老棉鞋，它的成本价为20元/双．该工厂利用网络平台销售某一批老棉鞋，每天销售量y（双）与销售单价x（元）之间的函数图象如图，已知图象是直线的一部分．

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、若该工厂要求每天销售量不低于320双，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

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七、（本题满分12分）

22. 如图1，已知 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 ° ， A C = B C$ ， $E F = D F$ ，点D在 $A B$ 上， $D F$ 与 $A C$ 交于点M， $D E$ 与 $B C$ 交于点N．

(1)、求证： $A D \cdot B D = A M \cdot B N$ ；

(2)、若点E是 $B C$ 延长线上一点， $D E$ 与 $A C$ 交于点N，点D是 $A B$ 的中点，连接 $C D ， E M$ ，其他条件不变．
①如图2，求证： $E D$ 平分 $∠ B E M$ ；
②如图3，若 $D C = C E$ ，则 $△ B E D$ 的周长： $△ A D M$ 的周长＝ ▲ ．

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八、（本题满分14分）

23. 如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求b和c的值；

(2)、已知点D是在第一象限内的抛物线上的一点，过点D作 $D E ⊥ x$ 轴于点E．
①如图2，点D是抛物线的顶点，点P是 $D E$ 上一点，若 $P A = P C$ ，求点P的坐标；
②如图3，若 $D E$ 与 $B C$ 交于点F，连接 $B D$ ，且 $S_{△ C O F} = 3 S_{△ B D F}$ ，求点D的坐标．

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