广东省广州市三校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x \in N | - 1 < x ≤ 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 设z= $\frac{1}{1 + i}$ +i，则|z|=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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3. 设某批电子手表正品率为 $\frac{3}{4}$ ，次品率为 $\frac{1}{4}$ ，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X=3)等于( )

A、 $C_{3}^{2} (\frac{1}{4})^{2} \times (\frac{3}{4})$ B、 $C_{3}^{2} (\frac{3}{4})^{2} \times (\frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4})^{2} \times (\frac{3}{4})$ D、 $(\frac{3}{4})^{2} \times (\frac{1}{4})$

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{2 b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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5. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 0.6}$ ， $b = t a n (- 130 °)$ ， $c = l o g_{1.3} 0.4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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6. 公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则 $\sqrt{3} c s c 20 ° - s e c 20 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、8

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7. 双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 若 $△ A B C$ 的面积为2，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{11 \sqrt{7}}{7}$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} c o s 2 x + 3 a (s i n x + c o s x) + (2 a - 1) x$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， \frac{1}{5}]$ B、 $[- \frac{1}{5} ， 1]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{5}] ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] ∪ [\frac{1}{5} ， + \infty)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论中，所有正确的结论是（）

A、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ B、命题 $p ： \exists x_{0} \in [1 ， + \infty)$ ， $e^{x_{0}} ≥ x_{0} + 1$ 的否定是： $\forall x \in [1 ， + \infty)$ ， $e^{x} < x + 1$ C、若 $0 < a < b$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $a x < x^{2} + 1$ ，则实数 $a \in (- \infty ， 2]$

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10. 已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）

A、圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ B、圆锥的表面积为 $2 \sqrt{2} π$ C、圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\sqrt{2} π$ 的扇形 D、圆锥的内切球表面积为 $(24 - 16 \sqrt{2}) π$

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11. 过抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限）， $M$ 为线段 $A B$ 的中点.若 $| A F | = 2 | B F | = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $E$ 的准线方程为 $y = - \frac{8}{3}$ B、过 $A$ ， $B$ 两点作抛物线的切线，两切线交于点 $N$ ，则点 $N$ 在以 $A B$ 为直径的圆上 C、若 $O$ 为坐标原点，则 $| O M | = \frac{\sqrt{33}}{2}$ D、若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $m$ 交抛物线于 $C$ ， $D$ 两点，则 $| A B | \cdot | C D | = 288$

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12. 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第 $n$ 行白圈的个数为 $a_{n}$ ，黑圈的个数为 $b_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{1} \div a_{2} \div a_{3} = 9$ B、 $b_{n + 1} = 2 b_{n} + a_{n}$ C、当 $k = \pm 1$ 时， ${a_{n} \div k b_{n}}$ 均为等比数列 D、 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{5} = 58$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩 $X ~ N (90 ， δ^{2})$ ，且 $P (X < 60) = 0.15$ ，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是.

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14. $(x^{2} - 2) {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（用数字作答）

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15. 在海岸 $A$ 处，发现北偏东45°方向，距 $A$ 处 $(\sqrt{3} - 1)$ 海里的 $B$ 处有一艘走私船，在 $A$ 处北偏西75°方向，距 $A$ 处2海里的 $C$ 处的缉私船奉命以 $10 \sqrt{3}$ 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从 $B$ 处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是分钟.（注： $\sqrt{6} \approx 2.5$ ）

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16. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有3个不同的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），则 $\frac{a}{2 - x_{2}}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一定点，并且点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和2. $B$ ， $C$ 分别是直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上的动点，且 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，设 $∠ A B D = x$ .

(1)、写出 $△ A B C$ 面积 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式 $S (x)$ ；

(2)、求函数 $S (x)$ 的最小值及相对应的 $x$ 的值.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B P = B Q = 2$ ， $D$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A Q$ ， $B Q$ ， $A P$ ， $B P$ 的中点， $A B ⊥ B Q$ ， $P D$ 与 $E Q$ 交于点 $G$ ， $P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

(1)、求证： $A B ∥ G H$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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19. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，公比大于0.已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{cases} 1 ， n 为奇数 \\ b_{\frac{n}{2}} ， n 为偶数 \end{cases}$ .求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + ⋯ + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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20. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有 $X$ 个孩子的概率模型为：
$X$
1
2
3
0
概率
$\frac{α}{p}$
$α$
$α (1 - p)$
$α {(1 - p)}^{2}$
其中 $α > 0$ ， $0 < p < 1$ .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 $\frac{1}{2}$ 且相互独立，事件 $A_{i}$ 表示一个家庭有 $i$ 个孩子（ $i = 0 ， 1 ， 2 ， 3$ ），事件 $B$ 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）

(1)、为了调控未来人口结构，其中参数 $p$ 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在 $p$ 的值使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ，请说明理由.

(2)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求 $α$ ，并根据全概率公式 $P (B) = \sum_{i = 0}^{3} P (B | A_{i})$ ，求 $P (B)$ .

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21. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{1}{x} - m x$ ，（ $m \in R$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $b > a > 0$ ，证明： $\frac{l n b - l n a}{b - a} < \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b + a b^{2}}$ .

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22. 设动点 $M$ 与定点 $F (c ， 0) (c > 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l ： x = \frac{4}{c}$ 的距离的比是 $\frac{c}{2}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)、当 $c = \sqrt{2}$ 时，记动点 $M$ 的轨迹为 $Ω$ ，动直线 $m$ 与抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ 相切，且与曲线 $Ω$ 交于点 $A$ ， $B$ .求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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$X$	1	2	3	0
概率	$\frac{α}{p}$	$α$	$α (1 - p)$	$α {(1 - p)}^{2}$