2023-2024学年初中数学八年级上册 1.4 分式的加法和减法同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $\frac{1}{m} - \frac{1}{n} = 6$ ，则 $\frac{m n}{m - n}$ 的值为（）

A、6 B、－6 C、 $\frac{1}{6}$ D、－ $\frac{1}{6}$

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2. 下列运算中正确的是（）

A、 $3 x^{- 2} = \frac{1}{3 x}$ B、 $\frac{x - y}{x + y} = - \frac{y - x}{y + x}$ C、 $\frac{x}{x - 2} - \frac{3 - x}{2 - x} = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ D、 $x^{2} \div \frac{1}{x} \cdot x^{3} = 1$

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3. 甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（）

A、甲合算 B、乙合算 C、甲、乙一样 D、无法确定

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4. 若 $x y = - 6$ ，其中 $x > y$ ，则下列分式的值一定比 $\frac{y}{x}$ 的值大的是（）

A、 $\frac{3 y}{3 x}$ B、 $\frac{3 y}{x}$ C、 $- \frac{3}{x}$ D、 $\frac{y + 3}{x}$

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5. 计算 $\frac{18}{x^{2} - 3 x} - \frac{2 x}{x - 3}$ 的结果是（）

A、 $\frac{2 x + 6}{x}$ B、 $- \frac{2 x + 6}{x}$ C、 $\frac{2 x - 6}{x}$ D、 $- \frac{2 x - 6}{x}$

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6. 下列运算结果为 $x - 1$ 的是（　　）

A、 $1 - \frac{1}{x}$ B、 $\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}$ C、 $\frac{x + 1}{x} \div \frac{x}{x - 1}$ D、 $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$

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7. 已知 $y_{1} = \frac{1}{x - 1}$ ， $y_{2} = \frac{1}{1 - y_{1}}$ ， $y_{3} = \frac{1}{1 - y_{2}}$ ， $y_{4} = \frac{1}{1 - y_{3}}$ ， …， $y_{n} = \frac{1}{1 - y_{n - 1}}$ ，则y₂₀₂₁=（）

A、 $\frac{x - 1}{x - 2}$ B、2-x C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、1

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8. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 对于代数式 $m$ ， $n$ ，定义运算“ $※$ ”： $m ※ n = \frac{m + n - 6}{mn} (mn \neq 0)$ ，例如： $4 ※ 2 = \frac{4 + 2 - 6}{4 \times 2} .$ 若 $(x - 1) ※ (x + 2) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ ，则 $2 A - B =$ ．

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10. 计算：（x+2+ $\frac{5}{2 - x}$ ）· $\frac{2 x - 4}{x - 3}$ ＝．

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11. 化简 $\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 6}{x - 3}$ ，结果等于．

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12. 某药品原来每盒p元，现在每盒提高3元，用200元买这种药品现在比原来少买盒．

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13. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
$\frac{a^{r}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{r}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{r}}{(c - a) (c - b)} = {\begin{cases} p ， & r = 0 时 \\ 0 ， & r = 1 时 \\ 1 ， & r = 2 时 \\ a + b + c ， & r = 3 时 \end{cases}$

（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．

(1)、当 $r = 0$ 时，常数p的值为．

(2)、利用欧拉公式计算： $\frac{202 2^{3}}{2} - 202 1^{3} + \frac{202 0^{3}}{2} =$ ．

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三、解答题

14. 先化简，再求值：
$(\frac{m + 1}{m - 1} + 1) \div \frac{m + m^{2}}{m^{2} - 2 m + 1} - \frac{2 - 2 m}{m^{2} - 1}$ ，其中 $m$ 满足 $- 2 \leq m \leq 2$ ，取一个整数即可.

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15. 先化简，再求值： $(1 - \frac{m}{m - 3}) \div \frac{m^{2} - 3 m}{m^{2} - 6 m + 9}$ ，其中 $m = 4 \sqrt{3}$ .

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四、计算题

16. 已知 $a + b + c = 0$ ，且 $a b c \neq 0$ ，求： $a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) + c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的值.

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五、综合题

17. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式N是分式M的“关联分式”．

(1)、已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，试说明 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ 是 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ 的“关联分式”；

(2)、小聪在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
∴ $(\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ， ∴ $N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小聪的方法求分式 $\frac{x + y}{2 x - 3 y}$ 的“关联分式”．

(3)、①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{a}{b - a}$ 的“关联分式”：．
②若 $\frac{n - 2}{m x + m^{2} + n}$ 是 $\frac{m + 2}{m x + n^{2}}$ 的“关联分式”，则 $m + n$ 的值为．

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18. 【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知 $x \neq 0$ ，所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，
所以 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$ ，
故 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ ．

(1)、上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = - 2$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 5 x^{2} + 1}$ 的值．

(2)、【拓展延伸】
已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{5}$ ，求 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值．

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2023-2024学年初中数学八年级上册 1.4 分式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

2023-2024学年初中数学八年级上册 1.4 分式的加法和减法同步分层训练培优卷(湘教版)