2023-2024学年初中数学八年级上册 1.4 分式的加法和减法同步分层训练基础卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算 $\frac{3}{a} + \frac{2}{a}$ 的结果为（）

A、 $\frac{1}{a}$ B、 $\frac{6}{a^{2}}$ C、 $\frac{5}{a}$ D、 $\frac{6}{a}$

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2. 化简 $\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{2}{2 - x}$ 的结果为（）

A、1 B、 $\frac{2 x}{x - 2}$ C、2 D、 $- 2$

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3. 对于任意的x值都有 $\frac{2 x + 7}{x^{2} + x - 2} = \frac{M}{x + 2} + \frac{N}{x - 1}$ ，则M，N值为（）

A、M＝1，N＝3 B、M＝-1，N＝3 C、M＝2，N＝4 D、M＝1，N＝4

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4. 若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 5 a \\ x - 2 y = a \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = m \\ y = n \end{array}$ ，则 $\frac{m + 3 n}{3 m - n}$ 的值为（）

A、-3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{a^{6}}{a^{3}} = a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $\frac{a}{(a + b)^{2}} + \frac{b}{(a + b)^{2}} = a + b$ D、 ${(- \frac{1}{3})}^{0} = 1$

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6. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，计算 $(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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7. 以下是代数式 $(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ 排乱的化简步骤：
① $= \frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ；
② $= \frac{2 + x}{2 - x}$ ；
③ $= [\frac{3}{x - 1} - \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}] \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ；
④ $= \frac{4 - x^{2}}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ．
则正确化简步骤的顺序是（）

A、①→③→④→② B、③→①→④→② C、③→④→①→② D、①→④→③→②

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二、填空题

8. 计算： $\frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y} =$ .

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9. 已知 $x = 5$ ，则代数式 $\frac{3}{x - 4} - \frac{24}{x^{2} - 16}$ 的值为．

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10. 化简： $\frac{2}{1 - x} - \frac{2 x}{1 - x}$ 的结果为．

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11. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = - 3$ ，则 $\frac{a + 2 a b - b}{2 a - 2 b - a b}$ 的值等于．

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12. 如果 $\frac{a}{b} = 2$ ，则 $\frac{a^{2} - a b - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} =$ ．

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三、解答题

13. 先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a^{2} - 4} \div (1 - \frac{3}{a + 2})$ ，再从 $- 2$ ， $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ 选择一个你喜欢的数代入求值．

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14. 先化简，再求值： $(\frac{a}{a + 1} - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2023$ ．

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四、计算题

15. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{2 x - x^{2}}{x - 2} \div x$ ，其中 $x = 7$ ．

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五、综合题

16. 定义：若分式 $M$ 与分式 $N$ 的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式N是分式 $M$ 的“互联分式”．如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，因为 $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ， $\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，所以 $\frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“互联分式”．

(1)、判断分式 $\frac{3}{x + 2}$ 与分式 $\frac{3}{x + 5}$ 是否是“互联分式”，请说明理由；

(2)、小红在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“互联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“互联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
$∴ (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ， $∴ N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小红的方法求分式 $\frac{x + 2}{x + 5}$ 的“互联分式”．

(3)、解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数 $a$ ， $b$ 的值，使 $\frac{4 a - 2}{b x + b}$ 是 $\frac{4 b + 2}{b x + a}$ 的“互联分式”．

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17. 阅读理解：已知 $x \neq y$ ， $p = x^{2} - y^{2}$ ， $q = 2 x y - 2 y^{2} .$ 试比较 $p$ 与 $q$ 的大小．
想法：求 $p - q .$ 当 $p - q > 0$ ，则 $p > q$ ；当 $p - q < 0$ ，则 $p < q$ ；当 $p - q = 0$ ，则 $p = q$ ．
解： $∵ p - q = (x^{2} - y^{2}) - (2 x y - 2 y^{2}) = x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2} > 0$ ， $∴ p > q$ ．
用你学到的方法解决下列问题：

(1)、已知 $- 1 < x < 1$ 且 $x \neq 0$ ， $m = \frac{x}{1 + x}$ ， $n = \frac{x}{1 - x} .$ 试比较 $m$ 与 $n$ 的大小．

(2)、甲、乙两地相距 $s (k m)$ ，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是 $a (k m / h)$ 、 $b (k m / h)$ ， $a \neq b$ ；小宇去时和返回时的速度都是 $\frac{a + b}{2} (k m / h) .$ 请问二者一个来回中，谁用时更短？

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

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