广东省江门市鹤山市重点中学2023-2024学年高一上学期数学第二阶段试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集为R ，集合 $A = {x | 0 < x < 1}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则（）

A、 $A ⊆ B$ B、 $B ⊆ A$ C、 $A \cup B = R$ D、 $A ∩ (∁_{R} B) = A$

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2. 若 ${a^{2} ， 0 ， - 1} = {a ， b ， 0}$ ，则 $a b$ 的值是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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3. 已知集合A＝{x|y $= \sqrt{(x - 1) (5 - x)}$ ，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（）

A、32 B、4 C、5 D、31

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4. 设集合 $M = {x | x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4} ， k \in Z}$ ， $N = {x | x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2} ， k \in Z}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、M $\subseteq$ N C、 $M \supseteq N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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5. “ $x^{2} > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $0 < t < 1$ ，则不等式 $x^{2} - (t + \frac{1}{t}) x + 1 < 0$ 的解集是（）．

A、 ${x | \frac{1}{t} < x < t}$ B、 ${x | x > \frac{1}{t} 或 x < t}$ C、 ${x | x < \frac{1}{t} 或 x > t}$ D、 ${x | t < x < \frac{1}{t}}$

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7. 为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（）

A、237 B、297 C、277 D、267

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8. 若存在 $x \in (0 ， 2]$ ，使不等式 $a x^{2} - 2 x + 3 a < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $0 \leq a \leq \frac{4}{7}$ C、 $a > \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $a > \frac{4}{7}$

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二、多选题

9. 若正实数 $a ， b$ 满足 $2 a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} ≥ 9$ B、 $4^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a b \geq \frac{1}{8}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{2}{5}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 = 0}$ ， $B = {x | m x - 1 = 0}$ ，若 $B ⊆ A$ ，则实数 $m$ 组成的集合为 ${- \frac{1}{3} ， 0 ， \frac{1}{2}}$ B、不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立的充要条件是 $- 3 < k \leq 0$ C、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为 $2$ D、“ $a c < 0$ ”是“二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一正根一负根”的充要条件

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11. 下列四个选项中，正确的选项有（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、 $x + \frac{1}{x}$ 最小值为2 C、“不等式 $2 x^{2} - 5 x - 3 < 0$ 成立”的一个必要不充分条件是 $- \frac{1}{2} < x < 4$ D、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $\frac{3}{2 x} + \frac{6}{y} = 2$ ，若 $4 x + y > 7 m - m^{2}$ 恒成立，则m的取值范围为 $(- \infty ， 3) ∪ (4 ， + \infty)$

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12. “存在正整数 $n$ ，使不等式 $(n + 3) l g a > (n + 5) l g a^{a} (0 < a < 1)$ 都成立”的一个充分条件是（）

A、 $0 < a < \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3} < a < 1$ C、 $\frac{1}{3} < a < \frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3} < a < \frac{5}{6}$

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三、填空题

13. 命题 $p ： \forall x > 0$ ， $e^{x} > 1$ ，则命题 $p$ 的否定是.

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14. 若 $1 < x < 2$ ， $3 < y < 5$ ，则 $x - \frac{1}{y}$ 的取值范围是．

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15. 若 $a$ 、 $b$ 为正实数，且 $2^{a} \cdot 4^{b} = 16$ ，则 $a b$ 的最大值为.

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = a b - 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a \leq x \leq a + 3}$ ，集合 $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 5}$ ，全集 $U = R$ .

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A ⊄ ∁_{U} B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $p ： | x - 2 | \leq a (a > 0)$ ， $q ： | x^{2} - 4 | \leq 1$ ，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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19. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{x + 1}{x - 3} \leq 0}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - (m - 1) x + m - 2 \leq 0}$ ．

(1)、若 $A \cup [a ， b] = [- 1 ， 4]$ ，求实数a ， b满足的条件；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围．

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20. 已知函数f（x）＝ax²﹣（4a+1）x+4（a∈R）.

(1)、若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a ， b的值；

(2)、解关于x的不等式f（x）＞0.

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21. 已知函数 $f (x)$ 为二次函数，不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(0 ， 5)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 4]$ 上的最大值为12．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[t ， t + 1]$ 上的最小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的表达式及 $g (t)$ 的最小值．

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22. 已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．

(1)、若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？

(2)、若每个小矩形的面积为 $\frac{98}{3}$ 平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？

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