广东省佛山市南海区重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、选择题（共8小题）

1. 疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从A ， B ， C ， D ， E ， F六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到E社区宣传的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点B是点 $A (9 ， 8 ， 5)$ 在平面 $x O z$ 内的射影，则 $| \vec{O B} | =$ （）

A、 $\sqrt{106}$ B、 $\sqrt{89}$ C、 $\sqrt{145}$ D、 $\sqrt{170}$

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3. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 $\frac{1}{3}$ ，长轴长为12，则椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$

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4. 若过点 $P (- 1 ， 0)$ 的直线与以点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 2 ， \sqrt{3})$ 为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{2 π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{2 π}{3} ， π)$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ (\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$

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5. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 3$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若点 $(m ， n)$ 在圆C： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，则直线 $m x + n y = 4$ 与圆C的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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7. 在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.3，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（）

A、0.28 B、0.36 C、0.54 D、0.72

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8. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ，设点 $M$ 是棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在底面 $A B C$ 所在平面内，若平面 $B_{1} M P$ 分别与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 和平面 $A B C$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到点 $B$ 的最短距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题（共4小题）

9. 设A ， B为两个随机事件，若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A ∪ B) = \frac{1}{2}$ B、若 $P (A ∩ B) = \frac{3}{8}$ ，则A ， B相互独立 C、若A与B相互独立，则 $P (A ∪ B) = \frac{5}{8}$ D、若A与B相互独立，则 $P (\bar{A} ∩ \bar{B}) = \frac{1}{8}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$ C、 $| P F_{1} |$ 的最小值为1 D、椭圆C的离心率为 $\frac{2}{3}$

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11. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD是正方形， $A A_{1} = 6$ ， $A B = 4$ ，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $\vec{A C_{1}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C C_{1}}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C C_{1}} = 24$ C、 $A C_{1} = 2 \sqrt{5}$ D、直线 $C C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$

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12. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，过直线l： $x + y - 6 = \hat{0}$ 上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A ， B ，则（）

A、若点 $P (4 ， 2)$ ，则直线 $A B$ 的方程为 $2 x + y - 1 = 0$ B、 $△ P A O$ 面积的最小值为 $\sqrt{14}$ C、直线 $A B$ 过定点 $(\frac{2}{3} ， \frac{2}{3})$ D、以线段 $A B$ 为直径的圆可能不经过点O

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三、填空题（共4小题）

13. 已知正方形 $A B C D$ ，以该正方形其中一边的端点A、B为焦点，且过另外C ， D两点的椭圆的离心率为.

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14. 在空间直角坐标系中，点 $A (1 ， 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $P (2 ， 2 ， 2)$ ，则P到直线 $A B$ 的距离为.

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15. 甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知；甲队每场比赛获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ .比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为.

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16. 由直线 $y = x - 1$ 上的一点向圆 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为.

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四、解答题（共6小题）

17. $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (4 ， 5)$ ， M是 $A B$ 的中点.

(1)、求边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线的方程.

(2)、求 $△ B C M$ 的面积.

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18. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n ，用 $(m ， n)$ 表示摸球的结果，如果 $m + n > 5$ ，算甲赢，否则算乙赢

(1)、写出该实验的样本空间；

(2)、这种游戏规则公平吗？请说明理由.

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， P为 $B C_{1}$ 上的点.

(1)、求证； $A_{1} P ∥$ 平面 $A D_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $P - A D_{1} - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，点 $F_{1}$ 到直线 $x = - \frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点 $F_{2}$ 且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求线段 $A B$ 的长.

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21. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y - 1 = 0$ 和 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 10 x - 12 y + 45 = 0$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程和公共弦长；

(2)、求过点 $P (9 ， 1)$ 且与圆 $C_{2}$ 相切的直线方程．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 垂直于 $⊙ O$ 所在的平面，C是圆周上不同于A ， B的一动点.

(1)、证明： $△ P B C$ 是直角三角形；

(2)、若 $P A = A B = 2$ ，且当直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角正切值为 $\sqrt{2}$ 时，直线 $A B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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