湖南省邵阳市重点学校2023-2024学年高三上学期数学第四次月考试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4} ， B = {x | | x - 1 | \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 4}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{3 + 4 i} = \frac{4 - 3 i}{z}$ ，则 $| z | =$ （）

A、3 B、25 C、9 D、5

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3. 等比数列{a_n}中，每项均为正数，且a₃a₈＝81，则log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a₁₀等于（）

A、5 B、10 C、20 D、40

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4. 已知 $a$ ， $b$ 是非零实数，则“ $l n | a | > l n | b |$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 6)$ B、 $(- 6 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 6)$

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6. 若 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 满足 $c o s A = s i n B = 2 t a n \frac{C}{2}$ ，则 $s i n A + c o s A + 2 t a n A$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A C ⊥ B C$ ，若 $A A_{1} = A B = 2$ ，则“阳马” $B - A_{1} A C C_{1}$ 的体积最大为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} + (a - 3) x + 1$ 在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、(-e，2) B、(-e，1-e) C、(1，2) D、 $(- ∞ ， 1 - e)$

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二、多选题（共4个小题，每个5分，共20分，选对得5分，选错一个得0分，少选得2分）

9. 设函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，若 $f (x) = f (\frac{2 π}{3} - x) = - f (π - x)$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期大于 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $ω = 3$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x) = 2 s i n 3 x$ 的图象

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10. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $a_{1} > 1$ ， $a_{6} a_{7} > 1$ ， $\frac{a_{6} - 1}{a_{7} - 1} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $0 < a_{7} a_{8} < 1$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{7}$ D、 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{6}$

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11. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为4， $E$ 为边 $A B$ 的中点， $E D ⊥ A C$ 于 $D$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A_{1} D E$ 的位置，连接 $A_{1} C$ .那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（）

A、 $D E ⊥ A_{1} C$ B、四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积的最大值是 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ C、存在某个位置，使 $A_{1} E ⊥ B E$ D、在线段 $A_{1} C$ 上，存在点 $M$ 满足 $\vec{A_{1} M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，使 $B M$ 为定值

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12. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， $△ A B D$ 的面积是 $△ B C D$ 面积的2倍，又数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，恒有 $\vec{B D} = (a_{n} - 2^{n - 1}) \vec{B A} + (a_{n + 1} + 2^{n}) \vec{B C}$ ，设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列 C、 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、 $S_{n} = (3 - n) 2^{n + 1} - 6$

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三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - a x - 2 < 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知点 $S ， A ， B ， C$ 均在半径为2的球面上， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，则 $S A =$ ．

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15. .已知 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3} ， A B = 2 ， A C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 长的值为.

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16. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x$ 在 $x = 1$ 处有极值2.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 3]$ 上的最值.

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18. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a^{x} - a^{- x}}{a^{x} + a^{- x}} + b$ 在 $R$ 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数 $f (x)$ 为奇函数；② $f (1) = - \frac{3}{5}$ ；③ $f (- 1) = - \frac{3}{5}$ .

(1)、从中选择的两个条件的序号为，依所选择的条件求得 $a =$ ， $b =$ .

(2)、在（1）的情况下，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m - 4^{x}$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上有两个不等实根，求 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，已知四边形 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，点 $S$ 在底面 $A B C D$ 上的射影为底面 $A B C D$ 的中心 $O$ ，点 $P$ 在棱 $S D$ 上，且 $△ S A C$ 的面积为1.

(1)、若点 $P$ 是 $S D$ 的中点，证明：平面 $S C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、在棱 $S D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得直线 $S A$ 与平面 $P A C$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出点 $P$ 的位置；若不存在，说明理由.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 5$ ， $a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \geq S_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \geq t n^{2}$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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21. 如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， φ \in (0 ， π))$ ， $x \in [- 4 ， 0]$ 的图像，图像的最高点为 $B (- 1 ， 2)$ ．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且 $C D / / E F$ ，游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE ．

(1)、求曲线段FGBC的函数表达式；

(2)、曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO长；

(3)、如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且 $∠ P O E = θ$ ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时 $θ$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{k (x - 1)}{x + 1}$ .

(1)、若 $k = 2$ ，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、若 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.
（i）求实数 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} < l n 2$ .

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