湖北省荆州市松滋市重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，数列 ${T_{n}}$ 是递增数列是 $a_{2023} \geq a_{2022}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若存在实数x∈[2，4]，使x²-2x+5-m<0成立，则m的取值范围为（）

A、（13，+∞） B、（5，+∞） C、（4，+∞） D、（-∞，13）

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3. 函数 $f (x) = \frac{c o s x - x^{2}}{e^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知函数 $f (x) = c o s 2 ω x - s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有 $2$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{12} ， \frac{13}{12})$ B、 $[\frac{1}{6} ， \frac{7}{6})$ C、 $(\frac{7}{12} ， \frac{13}{12})$ D、 $(\frac{1}{6} ， \frac{7}{6})$

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，并且当 $λ = - 4$ 时， $|\vec{a} + λ \vec{b}|$ 取得最小值，则 $s i n ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 设等差数列 $\{\begin{array}{l} a_{n} \end{array}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\begin{array}{l} b_{n} \end{array}\}$ 的前 $n$ 和为 $T_{n}$ ，已知 $a_{5} = 11$ ， $S_{10} = 120$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若 $T_{k} = \frac{8}{57}$ ，则正整数 $k$ 的值为（）

A、 $9$ B、 $8$ C、 $7$ D、 $6$

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7. 三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D ⊥ C D .$ 若 $A B = 3$ ， $B D = 1$ ，则该三棱锥体积的最大值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $1$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 设 $a = e^{\frac{1}{10}}$ ， $b = e^{s i n \frac{1}{9}}$ ， $c = \frac{10}{9}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知函数 $f (x) = x l n (x + 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 有极小值 C、 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2} + l n 2$ D、 $f (x)$ 为奇函数

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10. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体中，下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、直线 $A B_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角为 $45 °$ C、二面角 $A - B_{1} C - B$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ D、四面体 $D_{1} - A B_{1} C$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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11. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{s i n B s i n C}{3 s i n A} = \frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c}$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $\frac{c^{2}}{a + b}$ 的可能取值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

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12. 已知点 $O (0，0)$ ， $A (1，3)$ ， $B (3，1)$ ， $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} (λ ， μ \in R)$ ，则下列结论正确的为（）

A、当 $\frac{λ}{μ} = 2$ 时， $\vec{O P} ⊥ \vec{A B}$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，点 $P$ 在直线 $A B$ 上 C、当 $λ = μ$ 时， $\vec{O P} = \vec{A P} + \vec{O B}$ D、当 $λ - μ = 1$ 时， $\vec{O P}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = | \sqrt{3} - i |$ ，则 $z =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = | {log}_{3} x |$ ，实数 $m ， n$ 满足 $0 < m < n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，若 $f (x)$ 在 $[m^{2} ， n]$ 的最大值为2，则 $\frac{n}{m} =$ ．

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15. 数学王子高斯在小时候计算 $1 + 2 + \dots + 100$ 时，他是这样计算的： $1 + 100 = 2 + 99 = \dots = 50 + 51$ ，共有 $50$ 组，故和为 $5050$ ，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性 $.$ 若函数 $y = f (x)$ 图象关于 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 对称， $S_{n} = (n + 1) [f (\frac{1}{n + 1}) + f (\frac{2}{n + 1}) + \dots + f (\frac{n}{n + 1})] (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots \frac{1}{S_{n}} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x)$ 对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \leq 1$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} l n x ， 0 < x \leq 1 \\ e^{x} ， x \leq 0 \end{array} .$ 若函数 $g (x) = m | x | - 2 - f (x)$ 恰有 $3$ 个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 {c o s}^{2} x + 1$ ．

(1)、若 $f (α) = 3$ ，且 $α \in (0 ， π)$ ，求 $α$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ ，不等式 $f (x) \leq m - 3$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \sqrt{2}$ ， $a_{n} > 0$ ， $a_{n + 1} \cdot (S_{n + 1} + S_{n}) = 2$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、求 $\frac{1}{S_{1} + S_{2}} + \frac{1}{S_{2} + S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n} + S_{n + 1}}$ ．

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19. 如图，圆台下底面圆 $O$ 的直径为 $A B$ ， $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A ， B$ 的点，且 $∠ B A C = 30^{\circ}$ ， $M N$ 为上底面圆 $O'$ 的一条直径， $▵ M A C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $M B = 4$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $M A C$ ；

(2)、求平面 $M A C$ 和平面 $N A B$ 夹角的余弦值．

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20. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，

(1)、两个年级各派 $50$ 名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间 $[50，100]$ 上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图 $($ 每组均包括左端点，最后一组包括右端点 $)$ ，请估计学生的成绩的平均分 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 $)$ ；

(2)、两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下： $①$ 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一个题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； $②$ 如果在答满 $5$ 轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满 $5$ 轮题最多可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第 $3$ 轮结束时，双方答对题目数量比为 $3$ ： $0$ ，则不需再答第 $4$ 轮了； $③$ 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是 $\frac{3}{4}$ ，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是 $\frac{2}{3}$ ，每轮答题比赛中，双方答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
$(i)$ 在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了 $3$ 轮题，记 $X$ 为他答对题目的数量，求 $X$ 的分布列及数学期望．
$(i i)$ 求在第 $4$ 轮结束时，学生代表甲答对 $3$ 道题并刚好胜出的概率．

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21. 已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，且双曲线经过点 $(4 ， 6)$ ，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为 $\pm \sqrt{3}$ 的直线l，l与直线 $x = 1$ 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a l n x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求证：当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{2} x^{2} + l n x < \frac{2}{3} x^{3}$ ．

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